几何图形中的黄金分割

叶军 南京师大附中江宁分校 211102

在教学比例线段与相似形这一内容时，黄金分割宛如一颗瑰丽的明珠，总不能视而不见。可因为种种原因，教材在内容的组织上不过是浮光掠影，点到即止。甚至删去了黄金分割点的作图，至多在阅读材料中一笔带过；至于介绍黄金分割的应用，多为美术作品里的黄金分割、人体和生物中的黄金分割等等，或许是为了增强对数学的“应用价值”的认识，这些介绍多为数学外部的例子，让学生知其然而不知其所以然。而有些简单而有趣的数学内部的例子则不多见，本文拟介绍一些几何图形中的黄金分割的例子，供读者参考。

1、正五角星中的黄金分割

连接正五边形的5条对角线得到一个正五角星。那么这些对角线的交点都是所在线段的黄金分割点。

以BE为例，要证明M是其黄金分割点，只要证明ME2 BM BE即可。利用△BAM∽△BEA以及AB=AE=ME即可获证。

这5条线段的黄金分割点也构成一个新的正五边形，这个过程可以无限进行下去。 对于顶角为36º的等腰三角形，类似可证：底角平分线把一腰黄金分割，所以这个三角形也被称作黄金三角形。这个三角形当然在正五角星中随处可见，按照如图的方式作出一段段相互衔接的120度圆弧，得到的连续曲线也近似于一条对数螺线，我们说近似，是因为它也不是真正的对数螺线，而仅仅是等腰三角形的顶点恰好在一条对数螺旋上而已。

B

正五边形与正五角星 黄金三角形 对数螺旋

2、三根木杆搭出黄金分割点

在水平地面上竖一根木杆AB.从AB的中点D伸出另一根相同长度的木杆CD，再从CD的中点F伸出一根相同长度的木杆EF，木杆的另一端点都在水平地面上。则点C是线段AE的黄金分割点

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B

D

G

1AC 设21

设AD=1,则CD=2，因此∠ADC=60º,AC

从F作AC的垂线FG,则CG=