高中数学解题方法谈 线性规划求最值问题

线性规划求最值问题

一、与直线的截距有关的最值问题

x 2≤0， 例1 已知点P(x，y)在不等式组 y 1≤0，表示的平面区域上运动，则z x y的

x 2y 2≥0

取值范围是（ ）．

（A）［－2，－1］ （B）［－2，1］

（C）［－1，2］ （D）［1，2］

解析：由线性约束条件画出可行域如图1，考虑z x y，

把它变形为y x z，这是斜率为1且随z变化的一族平行

直线． z是直线在y轴上的截距．当直线满足约束条件且

经过点（2，0）时，目标函数z x y取得最大值为2；

直线经过点（0，1）时，目标函数z x y取得最小值为－1．故选（C）．

注：本题用“交点法”求出三个交点坐标分别为（0，1），（2，1），（2，0），然后再一一代入目标函数求出z=x-y的取值范围为［ 1，2］更为简单．这需要有最值在边界点取得的特殊值意识．

二、与直线的斜率有关的最值问题

x y 2≤0，y 例2 设实数x，y满足 xc 2y 4≥0，，则z 的最大值是__________． x 2y 3≤0，

解析：画出不等式组所确定的三角形区域ABC（如图2），z yy 0 表示两点xx 0O(0，，0)P(x，y)确定的直线的斜率，要求z的最大值，即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值．由图2可以看出直线OP的斜率最大，故P为x 2y 4 0与2y 3 0的交点，即A点．

∴P 1 ．故答案为 3

2 3． 2

yy 0 的 xx 0注：解决本题的关键是理解目标函数z

几何意义，当然本题也可设y t，则y tx，即为求 x

y tx的斜率的最大值．由图2可知，y tx过点A时，

3t最大．代入y tx，求出t ， 2

3即得到的最大值是． 2

三、与距离有关的最值问题

x y 2≥0， 例3 已知 x y 4≥0，，求z x2 y2 10y 25的最小值．

2x y 5≤0，

解析：作出可行域如图3，并求出顶点的坐标A（1，3）、B（3，1）、C（7，9）．而z x2 (y 5)2表示可行域内任一点（x，y）到定点M（0，5）的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足Ｎ在线段AC上，故z的最小值是MN2 9． 2

注：充分理解目标函数的几何意义，如两点间的距离（或平方）、点到直线的距离等．

四、与实际应用有关的最值问题

例4 预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的1．5倍，问桌、椅各买多少才行？ 分析：先设出桌、椅的变数后，目标函数即为这两个变数

之和，再由此在可行域内求出最优解．解题中应当注意到问

题中的桌、椅数都应是自然数这个隐含条件，若从图形直观上

得出的最优解不满足题设条件时，应作出调整，直至满足题设．

解：设应买x张桌子，y把椅子，把所给的条件表示成

50x 20y≤2000，

y≥x， 不等式组，即约束条件为 y≤1.5x，

x，y N，

200 x ， 50x 20y 2000， 7 由 解得 ． 200y x， y . 7

∴ A点的坐标为 200200 ， 7 7

x 25， 50x 20y 2000， 由 解得 75． y 1.5x，y . 2

∴ B点的坐标为 25 ．

75 2

所以满足约束条件的可行域是以A 75 200200 ，B 25 ，O(0，0)为顶点的三角形区772

域（如图4）．由图形可知，目标函数z x y在可行域内的最优解为25，，但注意到x，y N ，故取y 37．

答：应买桌子25张，椅子37把．