2.1拉氏变换及反变换(补充)
时间：2026-01-19
2拉氏变换及反变换(补充)
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
补充：拉普拉斯变换及反变换 补充：拉普拉斯变换及反变换 概述 拉氏变换对是求解常系数线性微分方程的工具。 拉氏变换对是求解常系数线性微分方程的工具。 是求解常系数线性微分方程 线性时不变系统的时域模型简便地进行变换， 简便地进行变换 把线性时不变系统的时域模型简便地进行变换，经 还原为时间函数 求解再还原为时间函数。 求解再还原为时间函数。
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机械工程控制基础 内容一、 拉普拉斯变换 (1)定义 )
拉普拉斯变换及反变换
(2)常用函数的拉普拉斯变换 ) (3)拉普拉斯变换的基本性质 ) 二、 拉普拉斯反变换
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机械工程控制基础 一、拉普拉斯变换 1. 定义 Laplace 正变换 F ( s ) =∞
拉普拉斯变换及反变换
表示为： 表示为： F(s)= [f(t)] F(s)= f(t)= -1[F(s)]
f (t )e st dt ∫ ——00
1 σ + j∞ F ( s )e st ds Laplace反变换 f (t ) = 2πj ∫σ j∞ (t ≥ 0)
拉氏变换积 分上限说明： 分上限说明：
F ( s) = ∫ f (t )e st dt0
∞
= ∫ f (t )e dt + ∫ + f (t )e st dt0 0
0+
st
∞
含有冲激函数项时， 当f(t)含有冲激函数项时，此项 ≠ 0 含有冲激函数项时
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机械工程控制基础s = σ + jω 称为复频率 。
拉普拉斯变换及反变换
f(t) ,t ∈ [0,∞)称为原函数，属时域。 称为原函数 ∞ 称为原函数，属时域。 用小写字母表示， 原函数 用小写字母表示，如 f(t) ,i(t),u(t) , F(s) 称为象函数，属复频域 。 称为象函数 象函数， 象函数F(s) 用大写字母表示 ,如F(s) ,I(s),U(s)。 象函数 如 ， 。
拉普拉斯变换对，记为： 拉普拉斯变换对，记为：L f(t)L_
F(S)
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机械工程控制基础 2.2
拉普拉斯变换及反变换
常用函数的拉普拉斯变换
(单位阶跃函数) 1. f (t ) = u (t ) 单位阶跃函数)
1 t ≥ 0 u (t ) = 0 t < 0
u(t) t
F(s)=
1 st = 0 + ∫ + e dt = e 0 s st
∞
∞
0+
1 = s
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机械工程控制基础2. f (t ) = e at u (t ) (指数函数) 指数函数) 0 (t < 0) f (t ) = αt (t ≥ 0) e
拉普拉斯变换及反变换
1 ( s + a )t at at st e F(s)= [e ] = ∫ e e dt = 0 s+a 1 jωt [e ] = s jω∞
∞
0
1 = s+a
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机械工程控制基础单位脉冲函数) 3. f ( t ) = δ ( t ) (单位脉冲函数)
拉普拉斯变换及反变换
0 (t ≠ 0) δ (t ) = ∞ (t = 0)
δ(t)
∫
∞
∞
δ (t )dt = 1
0
t
[δ (t )] =
∫
∞
0
δ (t )e dt = ∫0 δ ( t )dt st
0+
=1
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机械工程控制基础单位斜坡函数) 4. f (t ) = t (单位斜坡函数) f(t)
拉普拉斯变换及反变换
0(t < 0) f (t ) = t(t ≥ 0)
0
t
1 t
st ∞ 1 ∞ st F(s)=L[f(t)]= ∫ te dt = e + ∫ e dt = 2 0 s 0 s s 0∞ st
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机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
5. f (t ) = t n [t ] =nn
(幂函数) 幂函数)
∫
∞
0
t e dt = ∫0∞ ∞
n st
∞
t n st de s
t st = e stn limest = 0 t →∞
0
e st n n ∞ n 1 st dt = ∫ t e d t +∫ 0 s 0 s
n [t ] = [t n 1 ] sn
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机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
n [t ] = [t n 1 ] sn
1 当n 1 [t] = 2 ; =, s 2 2 当n 2, [t ] = 3 ; = s
依次 推 得 类 ，
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机械工程控制基础常 用 函 数 的 拉 普 拉 斯 变 换 表 δ(t) δ(n)(t) u(t) t tn e-at te-at tne-at e-jwt 1 sn 1/s 1/s2n!
拉普拉斯变换及反变换
sn+11
s+a1
(s+a)2n!
(s+a)n+11
s+jw
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机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
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机械工程控制基础f1(t) 1 0 e-αt t 1 0 f2(t) e-αt t
拉普拉斯变换及反变换
例题 求图示两个函数的拉氏变换式
由于定义的拉氏变换积分上限是0 解 由于定义的拉氏变换积分上限是 -,两个函数的 1 拉氏变换式相同 F(s) = s +α 当取上式的反变换时， 当取上式的反变换时，只能表示出 > 0 区间的函数式 t
1 α t (t ≥ 0) ]= e [ s +α 1
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机械工程控制基础 2.3一、线性性质
拉普拉斯变换及反变换
拉普拉斯变换的基本性质
若 [f1(t )] = F (s) , [f2 (t )] = F2 (s) 1则 [a f1(t ) ± b f2 (t )] = aF (s) ± bF2 (s) 1
1 1 例1 [ A (1 e )] = A( ) s s +α 1 例2 [sin ω t ] = [ (e jω t e jω t )] 2j 1 1 1 ω ]= 2 = [ 2j s jω s + jω s + ω2 α t
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机械工程控制基础二、微分定理
拉普拉斯变换及反变换
设 [ f (t )] = F(s)
dn f (t) n n 1 n 2 1) ′ 0 ) ... f (n ( ) 0 0 [ n ] = s F(s) s f( ) s f ( dt1 d (sin ω t )] 例1 [cos ω t ] = [ ω dt s ω 1 = [s 2 sin ωt 0 ] = 2 2 s +ω2 ω s +ω
df (t ) ] = sF(s) …… 此处隐藏：1336字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……
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