【一本通】2014届高考数学一轮复习 第7章 第45讲 简单复合函数的导数课件 理

1.函数y x 1 x 1 在x 1处的导数为22

4

解析：因为y 2 x 1 x 1 x 1 , x 1 4. y 5 1 y 2. y 的导数等于 12 1 3x . 4 1 3x

1 1 2 3.下列函数：①y 2 cos2x;②y 2 sin x; 4 2 1 2 1 2 ③y sin x;④y x cos x,其中导数不等 2 2 1 于y sin2x的是 ④ . 2

1 1 解析：①y (2 cos2x) 0 sin2x 2x 4 4 1 1 sin2x 2 sin2x. 4 2 1 2 1 ②y (2 sin x) 0 2sinx sinx 2 2 1 1 2 sinx cosx sin2x. 2 2 1 2 1 ③y ( sin x) 2sinx sinx 2 2 1 1 2sinxcosx sin2x. 2 2

1 1 2 ④y ( x cos x) 1 2cosx cosx 2 2 1 1 1 2cosx sinx 1 sin2x. 2 2 1 故④的导数不等于y sin2x. 2

4.下列函数①f x x 1 3 x 1 ;3

②f x 2 x 1 3; ③f x 2 x 1 3;2

④ f x x 1, 其中在x 1处的导数为3的是 ① .

【解析】当f x x 1 3 x 1 时，3

f x 3 x 1 3,在x 1处的导数为3;2

当f x 2 x 1 3时，f x 2; 当f x 2 x 1 3时，f x 4 x 1 ;2

当f x x 1时，f x 1. 故在x 1处的导数为3的是①.

简单复合函数【例1】试说明下列函数是怎样复合而成的？

1 y 2 x 2 2 y sinx .

2 3

;

(1)函数y 2 x2 2

【解析】

2 3

由函数y u 3 和2

u 2 x 复合而成.

2 函数y sinx 由函数y sinu 和u x

复合而成.

讨论复合函数的构成时，“内层”、

“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角 函数等.

【变式练习 】 1 写出由下列函数复合而成的函数：

1 y cosu,u 1 x 2;

2 y lnu,u lnx.( )y cos 1 x . 12

【解析】

2

y ln lnx .

简单复合函数的求导设a>1,f x x 2 ax 1 e1 x,

【例2】

2a 1 (2a 1) x x 2 g x .若存在x1,x2 0,1 , x 1 使得 f x1 g x2 1,求a的取值范围.

【解析】由f x 2x a e1 x x 2 ax 1 e1 x 1 0, 得 x 1 x 1 a 0, 所以x3 1,x4 1 a,因为a>1,所以x4<0.所以当x ( , a)时，函数单调增，x

1 a,1 时， 1 函数单调减，x (1, )时，函数单调增， 所以当x 1 a时，函数取得极大值，当x 1时，函 数取得极小值，为a 2. 同理，由

(2a 1 2 x)( x 1) [(2a 1) (2a 1) x x 2 ] g x ( x 1) 2 =0 得x5 0,x6 2. 所以当x ( , 2)时，函数单调减，x 2, 0 时， 所以当x 2时，函数取得极小值，当x 0时，函 数取得极大值，为2a 1. 因为x1,x2 0,1 ,所以要使 f x1 g x2 1, 只需 a 2 2a 1 1, 所以 a 3 1,所以2 a 4.

函数单调增，x (0, )时，函数单调减，

要牢记微积分基本定理.利用复合函数的 导数，研究函数的单调性，从而研究函数的极值. 将x1 ,x2 0,1 ,使得 | f x1 g x2 | 1恒成立 问题转化为 | a 2 (2a 1) | 1是解决问题的关键.