1-1-1集合的含义与表示1

1.1.1

集合的含义与表示

把集合中的元素一一列举出来. 并用 括起来表示集合的方法叫 做 ，如大于-1且小于10的偶数构成 的集合可表示为 . 用列举法表示下列集合： (1)方程(x2-1)(x2+2x-8)=0的解集为 . (2)方程|x-1|=3的解集为 . (3)绝对值小于3的整数的集合为 .

用集合所含元素的 表示集合的方 法，称作描述法. 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集 合元素的 ，再画 一条竖线，在这条竖线后面写出这个集合中 元素所具有的 .它的一般形式是 {x∈A|p(x)}或{x|p(x)}.“ ”为代表元素， “ ”为元素x必须具有的共同特征，当 且仅当“x”适合条件“p(x)”时，x才是该 集合中的元素，此法具有抽象概括、普遍性 的特点，当元素个数较多时，一般选用此 法.

1°试用描述法表示下列集合： (1)方程x2-3x+2=0的解集为 . (2)不等式3x+2>0的解集为 . (3)大于1小于5的整数组成的集合为 . 2°用列举法表示下列集合： (1)6的正约数组成的集合.________ (2)不等式2x-1<5的自然数解组成的集 合.________ (3)古代我国的四大发明组成的集合.________ (4)A={x|0<x≤5且x∈N}.________ (5)B={x|x2-5x+6=0}.________

[解析] (1)6的正约数为1,2,3,6,故所求集合 为{1,2,3,6} (2)不等式2x-1<5变形为x<3,因此它的自 然数解为0,1,2,故所求集合为{0,1,2} (3)古代我国的四大发明为：指南针，造纸， 火药，印刷术，形成集合为{指南针，造纸， 火药，印刷术}. (4)A={1,2,3,4,5}. (5)B={2,3}.

本节重点：集合的概念，集合中元素的三个 特性及集合的表示方法. 本节难点：集合中元素的性质的理解.

正确理解概念，准确使用符号，熟练进行集 合不同表示方法的转换是学好本节的关键. 1.要辩证理解集合和元素这两个概念： (1)符号∈和 是表示元素和集合之间关系的， 不能用来表示集合之间的关系.元素与集合 之间是个体与整体的关系，不存在大小与相 等关系. (2)集合具有两方面的意义，即：凡是符合条 件的对象都是它的元素；只要是它的元素就 必须符合条件.

2.深刻认识集合中元素的三种属性

(1)确定性：判断一些对象是否可以组成一个 集合，主要方法是，在观察任意一个对象时， 应该可以确定这一对象要么属于这一集合， 要么它不属于这一集合.

例如：给出集合{地球上的四大洋},它的元素是： 太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋.其它对象都不属 于这个集合.如果说“由接近 3的数组成的集合”这 里“接近 3的数”是没有严格标准、比较模糊的概 念.

它不能构成集合.如“好人”、“较大的树”等 都不能成为集合.

(2)无序性：在表示一个集合时，我们只需将某 些指定的对象集在一起，虽然习惯上会将元素 按一定顺序来写出，但却不强调它们的顺序， 当两个集合中的元素相同，即便放置顺序完全 不同时，它们也表示同一集合. 例如：{a,b}和{b,a}表示同一个集合. (3)互异性：对于任意一个集合而言，在这一集 合中的元素都是互不相同的个体.如：给出集 合{1,a2},我们根据集合中元素的互异性，就 已经得到了关于这个集合的几点信息，即这一 集合中有两个不同的元素，其中的一个是实数1, 而另一个一定不是1,所以a≠1,且a≠-1.

3.正确理解列举法 (1)元素间用分隔号“,”隔开； (2)元素不重复； (3)对于含较多元素的集合，如果构成该集合 的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把 元素间的规律显示清楚后才能用省略号. 4.合理选用集合的表示方法 列举法与描述法各有优点，列举法可以看清集 合的元素，描述法可以看清集合元素的特征， 一般含有较多或无数多个元素时不宜采用列举 法，因为不能将集合中的元素一一列举出来， 而没有列举出来的元素往往难以确定.

5.要正确理解描述法 用描述法表示集合时注意：(1)弄清元素所具 有的形式(即代表元素是什么),是数、还是 有序实数对(点)等.(2)元素具有怎样的属性？ 用描述法表示集合时，若需要多层次描述属 性时，可选用联结词“且”与“或”等联结； 若描述部分出现元素记号以外的字母时，要 对新字母说明其含义或指出其取值范围.

6.解集合问题的关键 解决集合问题的关键是弄清集合由哪些元素所构 成.如何弄清呢？关键在于把抽象问题具体化、 形象化.也就是把用描述法表示的集合用列举法 来表示，或用图示法来表示抽象的集合，或用图 形来表示集合. 例如，在判断集合A={x|x=4k±1,k∈Z}与集 合B={y|y=2n-1,n∈Z}是否为同一集合时， 若从代表元素入手来分析它们之间的关系，则比 较抽象，而用列举法来表示两个集合，则它们之 间的关系就一目了然.即A={ ,- 1,1,3,5, },而B={ ,-1,1,3,5 } ∴A与B是同一集合.