高二数学选修1、3-1-2导数的几何意义

高二数学选修1-1全册同步练习

3.1.2导数的几何意义

一、选择题

31．曲线y＝x－3x在点(2,2)的切线斜率是( )

A．9

C．－3

[答案] A

[解析] Δy＝(2＋Δx)－3(2＋Δx)－2＋6＝9Δx＋6Δx＋Δx，

Δy9＋6Δx＋Δx2， Δx

lim Δx→0Δy2＝Δlim (9＋6Δx＋Δx)＝9， Δxx→0

33323B．6 D．－1 由导数的几何意可知，曲线y＝x－3x在点(2,2)的切线斜率是9.

172．曲线y＝3－2在点(－1，－)处切线的倾斜角为( ) 33

A．30°

C．135°

[答案] B

111Δy1[解析] Δy＝－1＋Δx)3－(－1)3＝Δx－Δx2＋Δx3，1－Δx＋x2， 333Δx3

lim Δx→0Δy12＝Δlim (1－Δx＋x)＝1， Δxx→03 B．45° D．60°

17∴曲线y＝3－2在点 －1，－处切线的斜率是1，倾斜角为45°. 33113．函数y＝－(2)处的切线方程是( ) x2

A．y＝4x

B．y＝4x－4 D．y＝2x＋4 C．y＝4(x＋1)

[答案] B

[解析] Δy＝2ΔxΔy22＝，Δlim ＝4， 1Δx1x→01Δx＋Δx＋Δx＋222

1∴切线的斜率为4.∴切线方程为y＝4 x－ 2－2＝4x－4.

4．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么( )

A．f′(x0)＞0

C．f′(x0)＝0

[答案] B B．f′(x0)＜0 D．f′(x0)不存在

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1[解析] 由导数的几何意义可知f′(x0)＝－，故选B. 2

5．下列说法正确的是( )

A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线

B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在

C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在

D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线

[答案] C

[解析] 由于对导数在某点处的概念及导数的几何意义理解不透彻，不能认真分析题中所给选项，事实上A、B是一样的．它们互为逆否命题，讨论的是“f′(x0)存在与否”与切线存在与否的关系，而在导数的几何意义中讨论的是“切线的斜率”与“f′(x0)”，得C是正确的，而A、B、D都是不正确的，可一一举例说明．

6．设f(x)为可导函数且满足lim x→0

切线斜率为( )

A．2

C．1

[答案] B

[解析] lim x→0

＝lim x→0f(1)－f(1－2x)2x B．－1 D．－2 f(1)－f(1－2x)1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的2xf(1－2x)－f(1) －2x

f[1＋(－2x)]－f(1) －2x＝－lim 2x→0

＝f′(1)＝－1.

π7．在曲线y＝x2上的点________处的倾斜角为( ) 4

A．(0,0)

B．(2,4) 11D．(，2411C．(， 416

[答案] D

[解析] 倾斜角的正切值即为斜率，设点(x0，y0)

(x0＋Δx)－x0则k＝y′|x＝x0＝Δlim x→0Δx

2x0Δx＋Δx＝Δlim x→0Δx

＝Δlim (2x0＋Δx)＝2x0＝1， x→0222

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11112∴x0＝y0＝x0＝∴点坐标(． 2424

8．若函数f(x)的导数为f′(x)＝－sinx，则函数图像在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为

( )

A．90°

C．锐角

[答案] C

[解析] 函数图像在点(4，f(4))处的切线斜率为f′(4)＝－sin4>0，所以函数图像在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为锐角．

9．曲线y＝x＋x－2在点P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P0的坐标是( )

A．(0,1)

B．(－1，－5) D．(0,1)或(4,1) 3 B．0° D．钝角 C．(1,0)或(－1，－4)

[答案] C

[解析] k＝Δlim x→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx

3(x0＋Δx)3＋(x0＋Δx)－x0－x0＝lim Δx→0Δx

＝lim[3x0＋3x0Δx＋(Δx)＋1] →Δx022

＝3x20＋1＝4，

∴3x21， 0＝3，即x0＝±

∴点P0的坐标为(1,0)或(－1，－4)．

10．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于( )

A．1

1C．－ 2

[答案] A

a(1＋Δx)2－a×12

[解析] ∵y′|x＝1＝lim Δx→1Δx

2aΔx＋a(Δx)2

＝Δlim x→0Δx

＝Δlim (2a＋aΔx)＝2a， x→0

∴2a＝2，∴a＝1.

二、填空题

11．已知函数f(x)＝x3＋2，则f′(2)＝________.

[答案] 12 1B. 2D．－1

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(2＋Δx)＋2－2－2[解析] f′(2)＝Δlim x→0Δx

(2＋Δx－2)[(2＋Δx)2＋(2＋Δx)·2＋22]＝lim Δx→0Δx

＝lim[4＋4Δx＋(Δx)2＋4＋2Δx＋4] →Δx033

＝lim[12＋6Δx＋(Δx)2]＝12. →Δx0

12．曲线y＝x2－3x的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________．

[答案] (2,4)

[解析] 设切点坐标为(x0，y0)，

(x0＋Δx)2－3(x0＋Δx)－(x20－3x0)y′|x＝x0＝lim Δx→0Δx

＝Δlim x→02x0Δx－3Δx2x0－3＝1＝k， Δx

2故x0＝2，y0＝x0＝4，故切点坐标为(2,4)．

13．曲线y＝x3在点(1,1)处的切线与x轴，x＝2所围成的三角形的面积为________．

8[答案] 3

(x＋Δx)－x2[解析] y′＝lim 3x，所以k＝y′|x＝1＝3×1＝3，所以在点(1,1)处的切Δx→0Δx

21 2 ，线方程为y＝3x－2，它与x轴的交点为 ，0与x＝2的交点为(2,4)，所以S＝2－×4 3 2 38＝3

14．曲线y＝x3＋x＋1在点(1,3)处的切线是________．

[答案] 4x－y－1＝0

[解析] 因为y′

(x＋Δx)3＋(x＋Δx)＋1－(x3＋x＋1)2＝Δlim ＝3x＋1， →x0Δx

所以k＝y′|x＝1＝3＋1＝4，所以切线的方程为y－3＝4(x－1)，即4x－y－1＝0.

三、解答题

15．求曲线y＝x＋3x＋1在点(1,5)处的切线的方程．

[分析] 点是曲线上的点→求切线的斜率k→得切线 …… 此处隐藏：1692字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……