数列求和方法复习及练习题与答案

该资料是学习数列求和方法的好资料,并附有针对性练习题及答案,欢迎广大师生使用

数列的求和方法及练习题与答案

（一）知识归纳： 1．拆项求和法：将一个数列拆成若干个简单数列（如等差数列、等比数列、常数数列等等），然后分别求和. 2．并项求和法：将数列的相邻的两项（或若干项）并成一项（或一组）得到一个新的且更容易求和的数列. 3．裂项求和法：将数列的每一项拆（裂开）成两项之差，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若干项. 4．错位求和法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，这是仿照推导等比数列前n项和公式的方法. 5．反序求和法：将一个数列的倒数第k项（k=1，2，3， ，n）变为顺数第k项，然后将得到的新数列与原数列进行变换（相加、相减等），这是仿照推导等差数列前n项和公式的方法. （二）学习要： 1．“数列求和”是数列中的重要内容，在中学高考范围内，学习数列求和不需要学习任何理信纸，上面所述求和方法只是将一些常用的数式变换技巧运用于数列求和之中. 在上面提到的方法中，“拆项”、“并项”、“裂项”方法使用率比较高，“拆项”的典型例子是数列“Sn 1 2 2 3 n(n 1)”的求和；“裂项”的典型例子是数列“Sn

111

”的求和；“并项”的典型例子是数列1 22 3n(n 1)

“Sn 1 2 3 4 5 6 ( 1)n 1 n”的求和.

2．“错位”与“反序”求和方法是比较特殊的方法，使用率不高，其中“错位”求和方

法一般只要求解决下述数列的求和问题：若{an}是等差数列，{bn}是等比数列，则数列{an bn}的求和运用错位求和方法. [例1]解答下述问题：

(2n)2（I）已知数列{an}的通项公式an ，求它的前n项和.

(2n 1)(2n 1)

nn

, 2n 12n 1122n 1n 1nn

Sn (1 ) ( ) ( ) ( ),

3352n 32n 12n 12n 1

[解析] an

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12332n(n 1)=

2n 1

=1 ( ) ( ) (

2535n 1nnn

) n 2n 12n 12n 12n 1

（II）已知数列{an}的通项公式an

2n 1

,求它的前n项和. 2

[n(n 1)]

(n 1)2 n211

[解析] an 2 , 222

n (n 1)n(n 1)

Sn (1

1111111

) ( ) ( ) ( )2222222223(n 1)nn(n 1)

1

1 .2

(n 1)

（III）求和：Sn 1 n 2 (n 1) 3 (n 2) n 1;

[解析]注意：数列的第n项“n·1”不是数列的通项公式，记这个数列为{an}， ∴其通项公式是

ak k [n (k 1)] kn k2 k(k 1,2,3, ,n),

Sn (1 2 3 n) n (12 22 32 n2) (1 2 3 n) n2(n 1)n(n 1)(2n 1)n(n 1)n(n 1)(n 2) .

2626

9n

（Ⅳ）已知数列an (n 1) (),求{an}的前n项和Sn.

10

9n

[解析] an n 1为等差数列,bn ()为等比数列，∴应运用错位求和方法：

10

999 3 ()2 (n 1) ()n;101010

9999 Sn 2 ()2 3 ()3 (n 1) ()n 1,10101010

199999

两式相减得:Sn [()2 ()3 ()n] (n 1) ()n 1

10510101010

98199999 [1 ()n] (n 1) ()n 1 ()n 1(n 10),51010101010

9

Sn 99 9(n 10) ()n.

10 Sn 2

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0123n

（Ⅴ）求和W Cn 4Cn 7Cn 10Cn (3n 1)Cn

[解析] an 3n 1为等差数列, a0 an a1 an 1 ,

kn k而Cn Cn, 运用反序求和方法是比较好的想法，

012n 1n

①， W Cn 4Cn 7Cn (3n 2)Cn (3n 1)Cnnn 1n 210

(3n 1)Cn (3n 2)Cn (3n 5)Cn 4Cn Cn01n 210

②， W (3n 1)Cn (3n 2)Cn (3n 5)Cn 4Cn Cn012n

①+②得2W (3n 2)(Cn Cn Cn Cn) (3n 2) 2n,

W (3n 2) 2n 1.

[评析]例1讨论了数列求和的各种方法，关键是准确抓住数列通项公式呈现的规律，然

后选定一种求和方法，并作出相应的变换. [例2]解答下列问题： （I）设f(x)

x2 9(x 3),

1

（1）求f(x)的反函数f（2）若u1 1,un f（3）若ak

(x);

1

(un 1),(n 2),求un;

1

,k 1,2,3, ,求数列{an}的前n项和Sn;

uk uk 1

1

[解析]（1）f

(x) x2 9

2

{un}是公差为9的等差数列，

u1 1

（2） 2

2

un un 1 9(n 2),

2 un 9n 8,

un 0,

1

un k 8,

（3）ak

1

(9k 1 k 8),

9k 8 9k 19

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1

Sn [( 1) ( ) (9n 1 n 8)]

9

1

(n 1 1);9

（II）设函数f(x)

2x 31

,作数列{bn}:b1 1,bn f()(n 2), 3xbn 1

求和：Wn b1b2 b2b3 b3b4 ( 1)n 1 bnbn 1.

22n 11 bn 1, bn , bnbn 1 (4n2 8n 3), 339

4222222

①当n为偶数时Wn {(1 2) (3 4) [(n 1) n]}

9

[解析] bn

8

{(1 2) (3 4) [(n 1) n]}9

48n [3 7 11 (2n 1)]

992

41n41

[(2n 2)] n (2n2 6n); 92299

422222

②当n为奇数时Wn {(1 2) [(n 2) (n 1)] n}

9

=

81 {(1 2) (3 4) [(n 2) (n 1)] n} 9348n 11

{ [3 7 11 (2n 3)] n2} [ n]

992341n 18n 111 [ 2n n2] (2n2 6n 7).9229239

[解析]例2中的（I）、（II）两题是以数列求和为主要内容的数列综合试题，需要熟练运

用求和方法，问题（I）中运用了“裂项”求和方法，而问题（II）中灵活运用了拆项与并项的求和方法. [例3]已知数列{an}的各项为正数，其前n项和Sn满足Sn (

an 12

)， …… 此处隐藏：3911字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……