学案9 函数的图象 http://www.77cn.com.cn

一、作图 1.利用描点法作图：

(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式； (3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性); (4)画出函数的图象. 返回目录

2.利用基本函数的图象变换作图，常见的图象变换有

以下三种：平移变换：(1) y=f(x-a)的图象可由y=f(x)的图象沿 x轴向右(a>0)或向左(a<0)平移 |a| 个单位得到. (2) y=f(x)+h的图象可由y=f(x)的图象向上(h>0)或向 下(h<0)平移 |h| 个单位得到.a

(3) y=f(ωx-a)的图象可由y=f(ωx)的图象沿x轴向右(ωa>0)或向左(ωa<0)平移

个单位得到.

伸缩变换：(1) y=kf(x)(k>0)的图象可由y=f(x)的图

象的横坐标不变，纵坐标变为原来的k倍(k>1时伸长,0<k<1时缩短)而得到. 返回目录

(2) y=f(kx)(k>0)的图象可由y=f(x)的图象纵坐标 不变，横坐标变为原来的 倍(k>1时缩短，0<k<1时伸k 1

长)而得到. 对称变换： (1) y=f(x)与y=f(-x)的图象关于 y轴 对称.

(2) y=f(x)与y=-f(x)的图象关于

x轴

对称.对称.

(3) y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于 原点

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(4) y=|f(x)|的图象是保留 y=f(x) 的图象中位于

上半平面内的部分及与x轴的交点，将y=f(x)的图象中位于下半平面内的部分以 x 轴 为对称轴翻折到上半平面中 去而得到. (5)y=f(|x|)的图象是保留y=f(x)的图象中位于右半 平面内的部分及与y轴的交点 ，去掉左半平面内的部分

而利用偶函数的性质 ，将右半平面内的部分以 y轴为对称轴翻转到左半平面中去而得到. (6) 奇函数的图象关于 原点 成中心对称图形， 偶函数的图象关于 y轴 成轴对称图形. 返回目录

二、识图 对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分 布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、

值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系. 三、用图 函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关 系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径、获

得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.

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四、有关结论 x=1 2 a b 2

1.若f(a+x)+f(b-x),x∈R恒成立,则y=f(x)的图象关于 成轴对称图形. 2.函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=

(b-a)对称.

3.若定义在R上的函数f(x)关于直线x=a与x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数,2b-2a是它的一个周期. 4.若定义在R上的函数关于点(a,c)和(b,c)(b>a)成中

心对称,则f(x)为周期函数,2b-2a是它的一个周期.5.若定义在R上的函数f(x)的图象关于点(a,c)成中心 对称,关于直线x=b(b>a)成轴对称,则f(x)是周期函数,4b-

4a是它的一个周期.返回目录

考点一 作出函数图象 作出下列函数的图象： (

1)y=|x-2|(x+1); (2) y=10|lgx| .

【分析】显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到 对已知解析式进行等价变形. 返回目录

【解析】(1)当x≥2,即x-2≥0时,y=(x-2)(x+1)=x21 2 9 -x-2=(x- ) 4 2

;

当x<2,即x-2<0时，y=-(x-2)(x+1)=-x2+x+2=-(x1 2

)2+

9 4

.

∴y=

x-(

1 2 2

) 2-

9 4 9 4

,x≥2,

-x-( 1 )2+

,x<2.

这是分段函数，每段函数 图象可根据二次函数图象作出 (如图2-9-3). 返回目录

(2)当x≥1时，lgx≥0,y=10|lgx| =10lgx=x; 当0<x<1时，lgx<0,y=10|lgx| ∴y= =10-lgx=lg 1 x

10

1 x

.

x,x≥1,1 x

,0<x<1.

这是分段函数，

每段函数可根据正比例函数或反比例 函数作出(如图2-9-4).

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【评析】作不熟悉的函数图象，可以变形成基本函数 再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意 x, y的

变化范围.因此必须熟记基本函数的图象.例如 : 一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数及三角函数

的图象 . 在变换函数解析式中要运用转化变换和分类讨论的思想.作分段函数的图象时要注意各段间的“触点”.

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*对应演练*已知函数f(x)=|x-8|-|x-4|. (1)在图中作出 函数y=f(x)的 图象； (2)解不等式 |x-8|-|x-4|>2.

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(1)f(x)=

4, -2x+12,

x≤4 4<x≤8

-4,

x>8,

图象如下：

(2)不等式|x-8|-|x-4|>2,即f(x)>2,由-2x+12=2 得x=5.由函数f(x)的图 象可知,原不等式的解 集为(-∞,5). 返回目录

考点二

函数图象的识别

(1)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图， 则( )

A. b∈(-∞,0)

B. b∈(0,1)C. b∈(1,2) D. b∈(2,+∞)

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(2)设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],若当x∈[0,5] 时,f(x)的图象如图,则不等式f(x)<0的解集是 .

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(3)据新华社2002年3月12日电，1985年到2000年间，我国农村人均居住面积如图2-9-8所示，其中从 年

到

年的五年间增长最快.

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