2015中考数学全景透视二轮复习课件：专题6 运动变化问题(典例精析+考点训练

专题六

运动变化问题

1.点的运动问题 在三角形、特殊的四边形等一些图形上，有一个或 几个动点，探究这些点在运动变化过程中伴随着的变化 规律.对于此类问题，要注意用运动与变化的全过程， 抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变 的量、不变的关系或特殊关系，善于化动为静.

2.线的运动问题 动线几何类试题是指研究直线或线段按指定的路 径进行平移或旋转过程中的变化关系和变化规律的一 类综合性较强的试题.解决此类试题的关键是“动中 取静”,即抓住静的瞬间，把一般情形转化为特殊情 形，抓住变化中的不变量，巧妙地利用各变量之间的 关系建模解决问题.

3.图形的运动问题 图形的运动包括图形的平移、旋转、翻折等，图 形在运动过程中，对应线段、对应角不变.三角形、 四边形的运动是常见的一种题型.要善于运用各种数 学思想把问题转化为动点和动线问题，结合多种知识， 建立方程、不等式或函数模型解决.

温馨提示： 当一个问题是确定有关图形的变量之间的关系 时，通常确立函数模型或不等式模型求解；当确定图 形之间的特殊位置关系或一些特殊的值时，通常建立 方程模型去求解.

考点一

点的运动问题

例 1(2014· 河北 )图①和②中，优弧 AB 所在⊙O 的半径为 2,AB = 2 3. 点 P 为优弧 AB 上一点(点 P 不与 A , B 重合),将图形沿 BP 折叠，得到点 A 的对 称点 A ′ .

(1)点 O 到弦 AB 的距离是________, 当 BP 经过点 O 时，∠ABA′=________° ; (2)当 BA′与⊙O 相切时， 如图②, 求折痕 BP 的长； (3)若线段 BA′与优弧 AB 只有一个公共点 B,设 ∠ABP=α,确定 α 的取值范围.

【点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理、圆周 角定理的推论、切线的性质、锐角三角函数等，解题 的关键是正确作出辅助线利用垂径定理和勾股定理、 切线的性质等解决问题.

解：(1)1;60° . (2)方法一：如图，连接OB和OA′,则BO⊥BA′.

∵BO=2,BA′=2 3, ∴tan∠BOA′= 3. ∴∠BOA′=60° . 连接 AO,∵ AO=BO=2, 点 O 到弦 AB 的距离为 1, ∴∠OAB=∠OBA=30° .∴∠AOB=120° , ∴∠AOB+∠BOA′=180° ,

∴点A,O,A′共线.∴AA′垂直平分PB. ∵AA′垂直平分PB,∠A′OB=60° ,BO=2, ∴PB=2 3.

方法二：如图，作 OC⊥AB 于点 C,连接 OB,

∵BA′与⊙O 相切，∴∠OBA′=90° . 1 在 Rt△OBC 中，OB=2,BC= AB= 3, 2

BC 3 ∴cos∠OBC= = . ∴∠OBC=30° . OB 2 1 1 ∴∠ABP= ∠ABA′= (∠OBA′+∠OBC)=60° . 2 2 ∴∠OBP=30° . 作 OD⊥BP 于点 D, 则 BP=2BD. ∴BD=OB· cos 30° = 3. ∴BP=2 3.

(3)∵点P,A不重合，∴α>0° . 由(1)知，当

α增大到30° 时，点A′在优弧 AB 上， ∴当0° <α<30° 时，点A′在⊙O内，线段BA′与优 弧 AB 只有一个公共点B. 由(2)知，当α增大到60° 时，BA′与⊙O相切，即 线段BA′与优弧 AB 只有一个公共点B.