第43课时

点运动型问题

第43课时┃考向互动探究

考向互动探究探究一、动点二次函数综合型问题例1.[2013 广安] 如图43-1,在平面直角坐标系xOy中，抛物 线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A(-3,0),B(0 ,3),C(1,0). (1)求此抛物线的关系式；

图43-1考向互动探究

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(2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点(不与A、B重合),过点 P作x轴的垂线，垂足为点F,交直线AB于点E,作PD⊥AB于 点D. ①动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐 标； ②连接PA,以AP为边作图示一侧的正方形APMN,随着点P的 运动，正方形的大小、位置也随之改变.当顶点M或N恰好落 在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标(结果保留根号).

考向互动探究

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例题分层分析

(1)已知三点，如何求二次函数的关系式？

(2)P点的位置在哪儿，你能完成第(2)问中的作图吗？

(3)观察图中△AOB,△PED,它们是等腰直角三角形吗？说明理 由.(4)△PDE的周长最大时PE长是否最大？

(5)如何得出PE关于x的函数关系？讨论函数的最值.(6)关注正方形APMN,当顶点M或N在抛物线对称轴上时如何作图？

(7)为求P点坐标，如何做？作x轴或y轴的垂线试试.

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第43课时┃考向互动探究解 析

∴y=-x2-2x+3. (2)①∵A(-3,0),B(0,3), ∴OA=OB,∴∠BAO=45°. 又∵PF⊥AO,∴∠AEF=45°, ∴∠PED=45°,∴PD=DE. 设 F 点的横坐标为 x,则 PF=-x2-2x+3,FE=AF=x+3, ∴PE=PF-FE=-x2

9a-3b+c=0, a=-1, (1)由题意得 c=3, 解得 b=-2, a+b+c=0, c=3,

3 2 9 -3x=- x+ + , 2 4

9 9 9 当 x=-1.5 时， 最长为 ， PE 此时△PDE 的周长最大， + 为 4 4 4 而点 3 15 P 的坐标为 - , . 4 2考向互动探究

2,

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解 析

②当 M 在对称轴上时，过 P 作 PH⊥对称轴，垂

足为 H,则△APF≌△MPH,∴PF=PH. 设 F 的横坐标为 x,则点 P 的坐标为(x,-x-1),代入 y= - x2 - 2x+ 3, 得 - x- 1= - x2 - 2x+ 3, 解 得 x1 = -1- 17 -1+ 17 ,x2= (舍去), 2 2 -1- ∴P 2

17 17-1 , . 2

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解 析 当点 N 在对称轴上时，如图，设对称轴与 x 轴的 交点为 K,则△APF≌△NAK,∴PF=AK=2,

∴-x2-2x+3=2,解得 x1=-1- 2,x2=-1+ 2(舍 去),∴P(-1- 2,2). 综上可知 -1- P 点坐标为 2

17 17-1 , ,(-1- 2,2). 2

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解题方法点析

此类二次函

数综合题型，主要考查了待定

系数法求二次函数关系式，等腰直角三角形的判定与性质， 正方形的性质，全等三角形的判定与性质，抛物线上点的坐 标特征，根据全等三角形的性质用点P的横坐标表示出纵坐 标或用纵坐标求出横坐标是解题的关键.

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探究二、点运动型问题例 2、[2013· 黄冈] 如图 43-2,在平面直角坐标系中，四边形 ABCO 是梯形，其中 A(6,0),B(3, 3),C(1, 3),动点 P 从点 O 以每秒 2 个单位的速度向点 A 运动，动点 Q 也同时从点 B 沿 B→C→O 的线路 以每秒 1 个单位的速度向点 O 运动， 当点 P 到达 A 点时，点 Q 也随之 停止，设点 P、Q 运动的时间为 t(秒).

图43-2考向互动探究

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(1)求经过A、B、C三点的抛物线的关系式； (2)当点Q在CO边上运动时，求△OPQ的面积S与时间t的函数 关系式； (3)以O、P、Q为顶点的三角形能构成直角三角形吗？若能， 请求出t的值，若不能，请说明理由； (4)经过A、B、C三点的抛物线的对称轴、直线OB和PQ能够交 于一点吗？若能，请求出此时t的值(或范围),若不能，请说明 理由.

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例题分层分析

(1)已知三点，如何求二次函数的关系式？

(2)画出点Q在CO边上，根据已知得出△OPQ的高，求面积.(3)根据题意得出0≤t≤3,当0≤t≤2时，Q在BC边上运动，得出若 △OPQ为直角三角形，只能是∠OPQ=90°或∠OQP=90°; 当2<t≤3时，Q在OC边上运动，得出△OPQ不可能为直角三角 形. (4)能求出抛物线的对称轴以及直线OB的关系式和PM的关系式吗？ 观察关系式的特征和自变量的取值范围.

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解 析

(1)设所求抛物线关系式为 y=ax2+bx+c,把

A(6 , 0) , B(3 , 3 ) , C(1 , 3 ) 三 点 坐 标 代 入 得 36a+6b+c=0, 3 4 3 4 3 9a+3b+c= 3,解得 a=- ,b= ,c= . 15 15 5 a+b+c= 3, 即所求抛物线的关系式为 y=- 3 2 4 3 4 3 x+ x+ . 15 15 5

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解 析

(2)依题意，可知 OC=CB=2,∠COA=60°,

∴当动点 Q 运动到 OC 边时，OQ=4-t, 3 ∴△OPQ 的高为：OQ·sin60°=(4-t)× . 2 1 3 3 2 又 OP= 2t , ∴ S = × 2t × (4 - t)× =- (t - 2 2 2 4t)(2≤t≤3).

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第43课时┃考向互动探究解 析 (3)依题意，可知 0≤t≤3. 当 0≤t≤2 时，Q 在 BC 边上运动，

此时 OP=2t,OQ= 3+(3-t)2, PQ= 3+[2t-(3-t)]2= 3+(3t-3)2. ∵∠POQ<∠POC=60°,∴若△OPQ 为直角三角形，只能 是∠OPQ=90°或∠OQP=90°.若∠OPQ=90°,则 OP2 +PQ2=OQ2,即 4t2+3+(3t

-3)2=3+(3-t)2,解得 t= 1 或 t=0(舍去);若∠OQP=90°,则 OQ2+PQ2=OP2, 即 6+(3-t)2+(3t-3)2=4t2,解得 t=2; 当 2<t≤3 时， 在 OC 边上运动， Q 此时 OP=2t>4, ∠POQ =∠COP=60°,OQ<OC=2,∴△OPQ 不可能为直角三 角形. 综上所述，当 t=1 或 t=2 时，△OPQ 为直角三角形.考向互动探究

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3 2 4 3 (4)由(1)可知：抛物线 y=- x + x 15 15 4 3 3 2 16 + =- (x-2) + 3,其对称轴为 x=2.又 OB 5 15 15 3 的方程为 y= x,∴抛物线的对称轴与 OB 的交点为 3解 析 2 M 2, 3

3

.又

P(2t,0),设过 P、M 的直线的关系式为 y

=kx+b,

3 k= 2 3 , 3(1-t) =2k+b, 3 ∴ 解得 -2 3t 2kt+b=0, b=3(1-t), 考向互动探究

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解 析

3 2 3t 即直线 PM 的关系式为 y= x- , 3(1-t) 3(1-t)

即 3(1-t)y=x-2t.又 0≤t≤2 时，Q(3-t, 3),代入上式， 得 3(1-t)× 3=3-t-2t 恒成立，即 0≤t≤2 时，P、M、Q 总在一条直线上，即 M 在直线 PQ 上； 2<t≤3 时，OQ=4-t, 当 ∠ QOP= 60 ° , ∴ 4-t Q , 2

3(4-t) ,代入上式，得 2

3(4-t) 4-t 4 × 3(1-t)= -2t,解得 t=2 或 t= ,均不合 2 2 3 题意，应舍去. ∴综上所述可知，过 A、B、C 三点的抛物线的对称轴、直线 OB 和 PQ 能够交于一点，此时 0≤t≤2.考向互动探究