2014届高三数学(人教理科A版)课时训练卷《第25讲 平面向量的概念及其线性运算

[第25讲 平面向量的概念及其线性运算]

(时间：35分钟 分值：80分)

基础热身

→→→→→

1．[2013·石家庄模拟] 若四边形ABCD满足AB＋CD＝0，(AB－AD)·AC＝0，则该四边形一定是( )

A．直角梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形

图K25－1

2．如图K25－1，e1，e2为互相垂直的单位向量，向量a，b如图，则向量a－b可表示为( )

A．3e2－e1 B．－2e1－4e2 C．e1－3e2 D．3e1－e2

→→→→3．[2013·邯郸一模] 在△ABC所在的平面内有一点P，如果2PA＋PC＝AB－PB，那么△PBC的面积与△ABC的面积之比是( )

3112A. B. 4233

μ→→→→→

4．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD＝2DB，CD＝λCA＋μCB，则的值为

λ( )

11

A．1 B. C．2 D.23

能力提升

→→→

5．在△ABC中，D为BC的中点，已知AB＝a，AC＝b，则在下列向量中与AD同向的向量是( )

ababA.＋ B.|a||b||a||b|a＋bC. D．|a|a＋|b|b |a＋b|

→→

6．[2013·长春模拟] 设OA＝e1，OB＝e2，若e1与e2不共线，且点P在线段AB上，|AP|∶|PB|→

＝2，如图K25－2所示，则OP＝(

)

图K25－2

1221A.e1－e2 1＋2 33331221C.e1＋e2 1－2 3333

7．[2013·沈阳模拟] 在数列{an}中，an＋1＝an＋a(n∈N*，a为常数)，若平面上的三个不→→→→→→

共线的非零向量OA，OB，OC满足OC＝a1OA＋a2 014OB，三点A，B，C共线且该直线不过O点，则S2 014等于( )

A．1 007 B．1 006 C．2 010 D．2 012

8．[2013·长春质检] 已知向量a＝3，1)，b＝(0，－1)，c＝(k3)．若a－2b与c共线，则k＝________．

→→→

9．设a，b是两个不共线向量，AB＝2a＋pb，BC＝a＋b，CD＝a－2b，若A，B，D三

点共线，则实数p的值是________．

→→→1→→1→→

10．在平行四边形ABCD中，AB＝e1，AC＝e2，NC＝AC，BM＝MC，则MN＝

42________．(用e1，e2表示)

1

11．[2013·郑州模拟] 已知m>0，n>0，向量a＝(m，1)，b＝ (1－n，1)且a∥b，则m2

________． n

12．(13分)已知四点A(x，0)，B(2x，1)，C(2，x)，D(6，2x)． →→

(1)求实数x，使两向量AB，CD共线；

→→

(2)当向量AB与CD共线时，A，B，C，D四点是否在同一条直线上？ 难点突破

→→

13．(12分)已知△ABC中，AB＝a，AC＝b，对于平面ABC上任意一点O，动点P满足→→

OP＝OA＋λa＋λb，则动点P的轨迹是什么？其轨迹是否过定点，并说明理由．

课时作业(二十五)

【基础热身】

→→→→

1．B [解析] 由AB＋CD＝0知，AB＝DC，

即AB＝CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形． →→→→→又(AB－AD)·AC＝0，∴DB·AC＝0，即AC⊥BD， 因此四边形ABCD是菱形，故选B.

2．C [解析] 连接图中向量a与b的终点，并指向a的终点的向量即为a－b，∴a－b＝e1－3e2.

→→→→→→→→→→→

3．A [解析] 2PA＋PC＝AB－PB，即2PA＋PC＝AB＋BP＝AP，即PC＝3AP，即点P33

在边AC上且PC＝，即△PBC与△ABC在BC边上的高的比是443

4

→→→→2→

4．C [解析] CD＝CA＋AD＝CA＋

3→2→→1→2→＝CACB－CA)＝CA＋CB，

333μ12

∴λ＝μ＝2.

33λ【能力提升】 5．C [解析]

a＋b→

a＋b的单位向量，a＋b与向量AD同向． |a＋b|

→→→→→→

6．C [解析] ∵ AP＝2PB，∴AB＝AP＋PB＝3PB， →→→→1→OP＝OB＋BP＝OB

32→1→→1

＝OB－OB－OA)1＋2.

333

a＋a7．A [解析] 由题意知，a1＋a2 014＝1，又数列{an}为等差数列，所以S2 0142×2 014＝1 007，故选A.

8．1 [解析] 因为a－2b与c共线，向量a＝3，1)，b＝(0，－1)，c＝(k3)，a－2b＝(3，3)，所以3－3k＝0，k＝1.

→→→→

9．－1 [解析] ∵BD＝BC＋CD＝2a－b，又A，B，D三点共线，∴存在实数λ，使AB→＝λBD，

2＝2λ，即 ∴p＝－1. p＝－λ，

251→1→1→

10．－1＋e2 [解析] ∵NC＝＝2，∴CNe2.

312444→1→→→→→→

∵BM＝MC，BM＋MC＝BC＝AC－AB＝e2－e1，

2

125→2→→→2

∴MC＝(e2－e1)，∴MN＝MC＋CN＝e2－e1)－2＝－e1＋e2.

334312

11．3＋22 [解析] 由a＝(m，1)，b＝(1－n，1)且a∥b可得m＝1－n，即m＋n＝1，1212n2mn2m

＋(m＋n)＝1＋＋2≥3＋2，当且仅当 所以 mn mnmnmn

→→

12．解：(1)AB＝(x，1)，CD＝(4，x)． →→∵AB∥CD，

∴x2－4＝0，即x＝±2. →→(2)当x＝±2时，AB∥CD.

→→

当x＝－2时，BC＝(6，－3)，AB＝(－2，1)，

→→

∴AB∥BC，此时A，B，C三点共线，

从而，当x＝－2时，A，B，C，D四点在同一条直线上． 但x＝2时，A，B，C，D四点不共线． 【难点突破】

→→

13．解：依题意，由OP＝OA＋λa＋λb， →→

得OP－OA＝λ(a＋b)， →→→即AP＝λ(AB＋AC)．

如图，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，对角线交于O，

→→则AP＝λAD， ∴A，P，D三点共线，

即P点的轨迹是AD所在的直线，由图可知P点轨迹必过△ABC边BC的中点(或△ABC的重心)．