复变函数与积分变换第二章-1

复变函数与积分变换

第二章解析函数

2013-10-21

主要内容§2.1 解析函数的概念

§2.2 解析函数和调和函数的关系§2.3 初等函数

§2.1 解析函数的概念§2.1.1 复变函数的导数与微分1.导数的定义z 定义 设函数 w f (z ) 在点 z 0 的某邻域内有定义， 0 z 是z0邻域内一点， w f ( z0 z ) f ( z0 ),如果 w f ( z0 z ) f ( z 0 ) lim lim z 0 z z 0 z 存在有限的极限值，则称 f (z )在 z 0 处可导，记作 f ( z0 ) dw 或 ，即 dz z z0 f ( z0 z ) f ( z0 ) (2.1) ( z0 ) lim f z 0 z3

注意：定义中z0+ z→z0 (即 z→0)的方式是任意的，即极限值 存在的要求与z0+ z→z0的方式无关。亦即，当z0+ z在区域 D内以任何方式趋近于z0时，比值

应该都趋于同一个数.

f ( z 0 z ) f ( z 0 ) z

如果f(z)在区域D内处处可导，就说f(z)在区域D内可导.

【例2.1】求 f z z 2 的导数 解:因为

z z z 2 f z z f z lim lim z 0 z 0 z z lim 2 z z 2 z2 z 0

所以

f z 2 z

【例2.2】问 f z x 2 yi 是否可导？

解: 因为 f z z f z x x 2 y y i x 2 yi lim lim z 0 z 0 z z x 2 yi lim z 0 x yi当z+ z沿着平行于x轴的直线趋向于z时， 因 y=0,极限 x 2 yi x lim 1 z 0 x yi x 当z+ z沿着平行于y轴的直线趋向于z时， 因 x=0,极限 x 2 yi 2 yi lim 2 z 0 x yi yi 所以 f z x 2 yi 的导数不存在6

【例2.3】证明：函数 f ( z )

z 在点z=0可导，且导数等于0.

2

[证] 先看商式 2 f ( z ) f (0) z z z 0 z当 z 0 时， z 0 , 所以

f ( z ) f (0) lim lim lim z 0 z 0 z 0 z z 0 z 0 z故 f (z ) 在 z 0 点可导，且导数等于0.

2

【例2.4】设 f ( z ) Re z . 证明 f ( z ) z 在全平面处处没有导数.2

[证] 对任意点z0有

f ( z ) f ( z0 ) Re z Re z0 Re( z z0 ) z z0 z z0 z z0在直线 Re z Re z0 上, 上式恒等于0; 在直线Im z Im z0 上，上式恒等于1. 所以当z z0上式没有极限，即在z0处没有导数 由于z0的任意性， (z ) 在全平面处处没有导数. f

2.可导与连续由在z0可导的定义，对于任给的 >0,相应的有一个 ,使得 当 0 z 时，有 f ( z0 z ) f ( z0 ) f ( z ) 0 z f ( z0 z ) f ( z0 ) 令 ( z ) f ( z0 ) z 则 lim ( z ) 0 z 0

由此得 所以

f ( z0 z ) f ( z0 ) f ( z0 )

z ( z ) z z 0

lim f ( z0 z ) f ( z0 ) 即 f(z)在z0连续

结论 复平面内，在某一点z0连续的函数不一定在z0点可导； 在z0的可导函数必定在z0连续.9

3.求导法则

(常用求导公式与法则 )

1) ( c ) 0 ,其中c为复常数 2) z nz n 1,其中n为整数 3) 四则运算法则 [ f z g z ] f z g z n

[ f z g z ] f z g z f z g z 1 f z 2 [ g z f z f z g z ], g z 0 g z g z

4) 复合函数的求导法则 { f [ g z ]} f g z 其中 g z 5) 反函数的求导法则 1 其中 f z 与 z g 是两个互为反函 f z g 数的单值函数，且 g 0 10

4.微分的概念设函数 f z 在z0可导，则 f z0 z f z0 f z0 z z z 其中 称 f z0 z 为函数 f z 在点z0的微分，记为 (2.3) d f z0 z

z 0

lim z 0

如果函数在z0的微分存在，则称函数f(z)在z0可微. 特别，当f(z)=z时，由(2.3)式得dz= z, 于是(2.3)式变为 即

d f z0 dz

f z0

d dz

函数 f z 在z0可导与在z0可微是等价的.

z z0

§2.1.2 解析函数的概念定义 如果f(z)在z0及z0的邻域内处处可导，则称f(z)在z0解析； 如果f(z)在D内每一点解析，则称f(z)在D内解析，或称 f(z)是D内的解析函数.

如果f(z)在z0处不解析，则称z0为f(z)的奇点.函数在一闭区域上解析，是指函数在一个包含该闭区域 的更大区域上为解析; 函数解析，是指函数在某个区域上处处可导; 函数的解析性不是在一个孤立点上的性质，而是一个在 区域上的性质.

注意：

函数在区域内解析与在区域内可导是等价的. 函数在一点处解析和在一点处可导是不等价的.12

若函数在一点处解析，则一定在该点可导；但函数在一 点处可导，不一定在该点处解析。

2z5 z 3 【例 2.5】求函数 f ( z ) 的解析性区域及该区域上的导数. 2 4z 1 解 设 P( z ) 2 z 5 z 3, Q( z ) 4 z 2 1当 Q( z ) 0 时 f ( z ) P( z ) / Q( z ) 解析 当 Q( z ) 0 时 4 z 2 1 01 i z 4 2 因此，在全平面除去点i/2与-i/2的区域内函数f(z)解析.

其解为

函数f(z)的导数可如下计算

P ' ( z )Q ( z ) P ( z )Q ' ( z ) (4 z 2 1)(10 z 4 1) (2 z 5 z 3)(8z ) f ( z) 2 [Q ( z )] (4 z 2 1)2 24 z 6 10 z 4 4 z 2 24 z 1

(4 z 2 1)2 13

【例2.6】研究下列函数的解析性1) f z z 3)2

2) g z x 2 yi

h z z

解: 1) 由例1知

f z z 2 是解析的 由解析函数的定义可知，在复平面内2) 由例2知 g z x 2 yi 的导数不存在 所以在复平面内 g z x 2 yi 处处不解析

f z ( z 2 ) 2 z

z0 z z0 h z0 z h z0 3) 由 lim lim z 0 z 0 z z 于 z0 z z0 z z0 z0 lim z 0 z z lim z0 z z0 z 0 z 当z0=0时，此极限为零； 当z0≠0时，令z0+ z沿直线 y y0 k x x0 …… 此处隐藏：1136字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……