2000年陕西普通高校专升本招生高等数学试题

2000年陕西普通高校专升本招生高等数学试题

2000年陕西普通高校专升本招生高等数学试题

一. 填空题 （每题4分，共计20分） 1． 过点（2，-1，3）且与直线x 1

y 2 4

1 z2

垂直的平面是________

2． 已知eax ax 1与1 cosx当x 0时为等价无穷小，则a ________. 3． 设f(x) asinx

1

2

13

sin3x在x

3

处取极值，则a _______.

1n

n 1

Snn

4． 设Sn

12

3

，则lim

n

_______.

5． 设n为正整数，则 2

2

xsin

n 1

sin

n

x

2n

2n

x cosx

=________.

二．单选题 （每题2分，共计10分）

1．下列函数在给定区间上满足拉格朗日中值定理的是（ ）

A．y x x [ 2,2] B. y ln(1 x) x [ 1,1] C. y

1x

x [ 1,1] D. y ln(1 x2) x [0,3]

2. 设f(x)的一个原函数为e 3x sin2x, 则f (x) ( ).

A. 9e 3x 4sin2x B. 3e 3x 2cos2x D. 9e 3x 4sin4x D. 3e 3x 2cos2x

1

xsin,

3. 设f(x) x

0,

x 0,x 0

,则f(x)在x 0处( )

A. 不连续 B. 连续 C. 可导 D. 可微 4. 设f(x) xx, 则df(x) ( )

A. 2xdx B. 2xdx C. 2xdx D. 不存在 5. 函数f(x) ln(1 x2 x)为( )

A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 单调递增函数 三. 计算题 (每题5分,共计30分) 1. 已知lim(

x

3x 2x 1

2

ax b) 2，求a,b.

2. 求不定积分

sin2xdx1 sin

2

x

.

2000年陕西普通高校专升本招生高等数学试题

3. 求定积分 x2 x2dx.

0

1

4. 求幂级数 (n 2)xn的收敛区间及和函数.

n 0

5. 设y是由方程x3 3xy y3 3所确定的隐函数,求y的极值并判定是极大值还是极小值.

6. 算二重积分,I=

D

4a x ydxdy其中D是由y

222

2

2ax x及x轴所围曲域.

四. 证明题(10分)

2

2

2

证明曲线x3 y3 a3上任一点切线与两坐标轴围成的直角三角形的斜边为一定值,其中

a 0为常数.

五．应用题 （10分） 已知一平面过直线

x 3y 2 0

z 0

且与三个坐标平面所围成的四面体的体积为

49

，求此平

面的方程.

六. 选作题 (四题中任选二题.每小题10分,共计20分) 1. 设 (x) 2e

x

x

(t)dt,求 (x).

2. 已知f(x)在( , )可导且满足f(x) f (x) 0,证明f(x)在( , )上最多有一个零点.

3. 计算曲线积分: (esiny y x)dx (ecosy 1)dy,其中C是由点(1,0)到点(0,1)再

C

x

2

x

到点(-1,0)的两条线段.

4. f(x,y)在R2上连续,又limf(x,y)存在且有限,这里

2

R上必有界.

x y, 证明f(x,y)在

22

2000年陕西普通高校专升本招生高等数学试题答案

一. 填空题

1. x 4y 2z 12 0 2. 1 3. 2 4. 1 5. 0 二. 选择题

1. D 2. A 3. B 4. C 5. A 三. 计算题

1. a 3,b 5 2. ln(1 sinx) c 3.

2

16

4. S(x)

2 x(1 x)

2

, 收敛区间( 1,1)

5. 极大值f(33)

3

4163

)a 9,极小值f( 1) 1, 6. (

39

2000年陕西普通高校专升本招生高等数学试题

四. 证明题

2

2

23

证 设曲线上任一点为(x,y),则x3 y3 a,且过此点的切线方程为

3

Y y

yx

2

3

(X x), 纵截距Y=3y

2

2

3

3

22

x y, 横截距X=3x3y x,

则斜边长为五. 应用题

X Y

2

(x3 y3) a为常数.

提示: 设平面方程为x 3y cz 2 0. 平面方程为x 3y z 2 0. 六. 选作题

1. 提示: 两边求导解微分方程得 (x) ex ce x.

2. 证 由f(x) f (x) 0, 有exf(x) exf (x) 0, 即[exf(x)] 0, 所以exf(x)在

( , )单调递增.而e 0,故f(x)在( , )上最多只有一个零点.

x

3.

53

.

x y

2

2

4. 证 因limf(x,y) A存在,则存在p>0,当 P即

P时,f(x,y)有界记

2

2

为M1.另一方面f(x,y)在有界闭区域

x y P上连续,所以f(x,y)在x y P

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有界记为M2,取M1,M2中最大的为界M,则f(x,y)在R2上有界.