考研真题数学分析

2011年硕士研究生入学考试试题

考试科目代码： 856 考试科目名称： 高等代数

（如无特殊注明，所有答案必须写在答题纸上，否则以“0”分计算）

一.（40分）以下各题只有一个答案是正确的，请选择正确的答案。 1. 设A,B是三阶矩阵, E是三阶单位矩阵．|A| 2, 且A2 AB 2E 0. 则 |A B| ( )．

(A) 0 (B) 1 (C) 4 (D) 2.

x 2

x 12x 13x 24x 3

x 22x 24x 55x 7

x 32x 33x 54x 3

2x 23x 34x

2. 设f(x) . 则f(x) 0的根的个数为 ( ).

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

3. 若 1, 2, 3, 1, 2都是4维列向量, 四阶行列式| 1 2 3 1| m, | 1 2 2 3| n. 则| 1 2 3( 1 2)| ( ).

(A) m n. (B) (m n). (C) n m. (D) m n. 4. 四阶对称矩阵的全体, 按矩阵的加法和数乘所组成的线性空间V的维数是 ( ).

(A) 4维 (B) 16维 (C) 8维 (D) 10维 5. 设对两向量组 1, 2, , m和 1, 2, , m, 存在两组不全为零的 1, 2, , m和k1,k2, ,km,使

( 1 k1) 1 ( m km) m ( 1 k1) 1 ( m km) m 0则必有

( ).

(A) 1, 2, , m 和 1, 2, , m 都线性相关.

(B) 1, 2, , m 和 1, 2, , m 都线性无关.

(C) 1 1, , m m, , 1 1, , m m 线性相关. (D) 1 1, , m m, , 1 1, , m m 线性无关. 6. 设A,B都是n阶非零矩阵, 且AB O, 则A,B的秩为 ( ).

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(A) 必有一个为0 (B) 都小于n. (C) 如一个等于n, 则另一个小于n. (D) 都等于n. 7. 设A是m n矩阵, B是n m矩阵, 则 ( ).

(A) 当 m n 时, 必有|AB| 0. (B) 当m n 时, 必有|AB| 0.

(C) 当 n m 时, 必有|AB| 0. (D) 当n m 时, 必有|AB| 0.

8. 空间四平面aix biy ciz di(i 1,2,3,4)过同一直线的充要条件是其相应方程组系数矩阵和增广矩阵的秩r ( ).

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 9. 已知e1 (,

32

21212122,),e2 , )e,3 )是的一个标准正交基, 33333333

则向量

在此基下的坐标为 ( ). ( 1,0,2)

(A) (0, 2,1). (B) ( 1,0,2). (C) (1,0, 2). (D) ( 2,0,1). 10. 设A (aij)n n为正交矩阵, 且|A| 1, Aij为aij的代数余子式(i,j 1,2, ,n), 则对i,j 1,2, ,n, 均有 ( )

(A) aji Aji. (B) aij Aji. (C) aij Aij. (D) aij Aij.

二.（20分）

(1). 证明：如果多项式f(x),g(x)不全为零，且u(x)f(x) v(x)g(x) (f(x),g(x)),那么(u(x),v(x)) 1.

(2). 命题“如果 是f (x)的m重根，那么 是f(x)的m 1重根”对吗？若你认为这个命题是对的，给出一个证明。若你认为不对，请举出反例。

1

31711

37 35

12 1 1

114

三.（15分）已知行列式D

. 求A12 A22 A32 A42，其中Aij是元素aij

的代数余子式。

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11

2-12M0

30-2M0

LLL

n-100M

n00M1-n

四．（20分）计算n阶行列式0

M0

.

Ln-1

五.（10分）写出一个三元齐次线性方程组，使它的基础解系为 (2, 1,2). 六.（15分）设数域P上的3维空间V的线性变换A在基 1, 2, 3下的矩阵为

1 1 1

454

1

0 . 求线性变换A0

2

A 2A

1

在基 1, 2, 3下的矩阵。

七.（15分）设 是n维欧氏空间V的一个正交变换，证明 的不变子空间的正交补也是 的不变子空间。

八.（15分）设 是n维欧氏空间V的一个线性变换．如果 关于一个标准正交基的矩阵是实对称矩阵，那么 是一个对称变换．