【人教A版】2020年高考数学一轮教案：第二章第3节函数的奇偶性与周期性

第3节 函数的奇偶性与周期性

考试要求 1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义；2.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义

.

知 识 梳 理

1.函数的奇偶性

2.函数的周期性

(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期.

[微点提醒]

1.(1)如果一个奇函数f (x )在原点处有定义，即f (0)有意义，那么一定有f (0)＝0.

(2)如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |).

2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.

3.函数周期性常用结论

对f (x )定义域内任一自变量的值x ：

(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0).

(2)若f (x ＋a )＝1f （x ）

，则T ＝2a (a >0).

(3)若f(x＋a)＝－

1

f（x）

，则T＝2a(a>0).

4.对称性的三个常用结论

(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.

(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.

(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称.

基础自测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数.()

(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.()

(3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.()

(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.()

解析(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)错.

(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，其在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错.

(3)由周期函数的定义，(3)正确.

(4)由于y＝f(x＋b)的图象关于(0，0)对称，根据图象平移变换，知y＝f(x)的图象关于(b，0)对称，正确.

答案(1)×(2)×(3)√(4)√

2.(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是()

A.y＝x2sin x

B.y＝x2cos x

C.y＝|ln x|

D.y＝2－x

解析 根据偶函数的定义知偶函数满足f (－x )＝f (x )且定义域关于原点对称，A 选项为奇函数；B 选项为偶函数；C 选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性；D 选项既不是奇函数，也不是偶函数.

答案 B

3.(必修4P46A10改编)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，

f (x )＝⎩⎨⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，

则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________. 解析 由题意得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭

⎪⎫－122＋2＝1. 答案

1

4.(2019·济南调研)下列函数既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )

A.y ＝x 3

B.y ＝x 14

C.y ＝|x |

D.y ＝|tan x |

解析 对于A ，y ＝x 3为奇函数，不符合题意；

对于B ，y ＝x 14是非奇非偶函数，不符合题意；

对于D ，y ＝|tan x |是偶函数，但在区间(0，＋∞)上不单调递增.

答案 C

5.(2017·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________.

解析 ∵x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，且f (x )在R 上为奇函数，

∴f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.

答案 12

6.(2019·上海崇明区二模)设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则当x ∈[1，2]时，f (x )＝________.

解析 当x ∈[1，2]时，x －2∈[－1，0]，2－x ∈[0，1]，

又f (x )在R 是上以2为周期的偶函数，

∴f (x )＝f (x －2)＝f (2－x )＝log 2(2－x ＋1)＝log 2(3－x ).

答案 log 2(3－x

)

考点一 判断函数的奇偶性

【例1】 判断下列函数的奇偶性：

(1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3；

(2)f (x )＝lg (1－x 2)|x －2|－2

； (3)f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0.

解 (1)由⎩⎨⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，

得x 2＝3，解得x ＝±3， 即函数f (x )的定义域为{－3，3}，

从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0.

因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )，

∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数.

(2)由⎩⎨⎧1－x 2>0，|x －2|≠2，

得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称. ∴x －2<0，∴|x －2|－2＝－x ，∴f (x )＝lg(1－x 2)－x

. 又∵f (－x )＝lg[1－(－x )2]x ＝－lg(1－x 2)－x

＝－f (x )， ∴函数f (x )为奇函数.

(3)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称. ∵当x <0时，－x >0，

则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；

当x>0时，－x<0，

则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；

综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数.

规律方法判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判 …… 此处隐藏：8924字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……