第3节 函数的奇偶性与周期性

考试要求 1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义；2.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义

.

知 识 梳 理

1.函数的奇偶性

2.函数的周期性

(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期.

[微点提醒]

1.(1)如果一个奇函数f (x )在原点处有定义，即f (0)有意义，那么一定有f (0)＝0.

(2)如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |).

2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.

3.函数周期性常用结论

对f (x )定义域内任一自变量的值x ：

(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0).

(2)若f (x ＋a )＝1f （x ）

，则T ＝2a (a >0).

(3)若f(x＋a)＝－

1

f（x）

，则T＝2a(a>0).

4.对称性的三个常用结论

(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.

(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.

(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称.

基础自测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数.()

(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.()

(3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.()

(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.()

解析(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不具有奇偶性，(1)错.

(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，其在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错.

(3)由周期函数的定义，(3)正确.

(4)由于y＝f(x＋b)的图象关于(0，0)对称，根据图象平移变换，知y＝f(x)的图象关于(b，0)对称，正确.

答案(1)×(2)×(3)√(4)√

2.(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是()

A.y＝x2sin x

B.y＝x2cos x

C.y＝|ln x|

D.y＝2－x

解析 根据偶函数的定义知偶函数满足f (－x )＝f (x )且定义域关于原点对称，A 选项为奇函数；B 选项为偶函数；C 选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性；D 选项既不是奇函数，也不是偶函数.

答案 B

3.(必修4P46A10改编)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，

f (x )＝⎩⎨⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，

则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________. 解析 由题意得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭

⎪⎫－122＋2＝1. 答案

1

4.(2019·济南调研)下列函数既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )

A.y ＝x 3

B.y ＝x 14

C.y ＝|x |

D.y ＝|tan x |

解析 对于A ，y ＝x 3为奇函数，不符合题意；

对于B ，y ＝x 14是非奇非偶函数，不符合题意；

对于D ，y ＝|tan x |是偶函数，但在区间(0，＋∞)上不单调递增.

答案 C

5.(2017·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________.

解析 ∵x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，且f (x )在R 上为奇函数，

∴f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.

答案 12

6.(2019·上海崇明区二模)设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则当x ∈[1，2]时，f (x )＝________.

解析 当x ∈[1，2]时，x －2∈[－1，0]，2－x ∈[0，1]，

又f (x )在R 是上以2为周期的偶函数，

∴f (x )＝f (x －2)＝f (2－x )＝log 2(2－x ＋1)＝log 2(3－x ).

答案 log 2(3－x

)

考点一 判断函数的奇偶性

【例1】 判断下列函数的奇偶性：

(1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3；

(2)f (x )＝lg (1－x 2)|x －2|－2

； (3)f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0.

解 (1)由⎩⎨⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，

得x 2＝3，解得x ＝±3， 即函数f (x )的定义域为{－3，3}，

从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0.

因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )，

∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数.

(2)由⎩⎨⎧1－x 2>0，|x －2|≠2，

得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称. ∴x －2<0，∴|x －2|－2＝－x ，∴f (x )＝lg(1－x 2)－x

. 又∵f (－x )＝lg[1－(－x )2]x ＝－lg(1－x 2)－x

＝－f (x )， ∴函数f (x )为奇函数.

(3)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称. ∵当x <0时，－x >0，

则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；

当x>0时，－x<0，

则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；

综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数.

规律方法判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.

【训练1】(1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()

A.y＝x＋sin 2x

B.y＝x2－cos x

C.y＝2x＋1

2x D.y＝x

2＋sin x

(2)已知f(x)＝

x

2x－1

，g(x)＝

x

2，则下列结论正确的是()

A.f(x)＋g(x)是偶函数

B.f(x)＋g(x)是奇函数

C.f(x)g(x)是奇函数

D.f(x)g(x)是偶函数

解析(1)对于A，定义域为R，f(－x)＝－x＋sin 2(－x)＝－(x＋sin 2x)＝－f(x)，为奇函数；对于B，定义域为R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为

偶函数；对于C，定义域为R，f(－x)＝2－x＋

1

2－x

＝2x＋

1

2x＝f(x)，为偶函数；对于

D，y＝x2＋sin x既不是偶函数也不是奇函数.

(2)令h(x)＝f(x)＋g(x)，

因为f(x)＝

x

2x－1

，g(x)＝

x

2，

所以h(x)＝

x

2x－1

＋

x

2＝

x·2x＋x

2（2x－1）

，

定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).

因为h(－x)＝

－x·2－x－x

2（2－x－1）

＝

x（1＋2x）

2（2x－1）

＝h(x)，

所以h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数，

令F(x)＝f(x)g(x)＝

x2

2（2x－1）

，

定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).

所以F(－x)＝

（－x）2

2（2－x－1）

＝

x2·2x

2（1－2x）

，

因为F(－x)≠F(x)且F(－x)≠－F(x)，

所以F(x)＝g(x)f(x)既不是奇函数也不是偶函数.

答案(1)D(2)A

考点二函数的周期性及其应用

【例2】(1)(一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()

A.－50

B.0

C.2

D.50

(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________.

解析(1)法一∵f(x)在R上是奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x).

∴f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x).

因此f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，

由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，

故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0

令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，

令x ＝3，得f (4)＝f (－2)＝－f (2)＝0，

故f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2＋0－2＋0＝0，

所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2.

法二 取一个符合题意的函数f (x )＝2sin πx 2，则结合该函数的图象易知数列

{f (n )}(n ∈N *)是以4为周期的周期数列.

故f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.

(2)因为当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x .又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0)＝0，

则f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0.

又f (1)＝0，∴f (3)＝f (5)＝f (1)＝0，

故函数y ＝f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点有7个.

答案 (1)C (2)7

规律方法 1.根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间.

2.若f (x ＋a )＝－f (x )(a 是常数，且a ≠0)，则2a 为函数f (x )的一个周期.第(1)题法二是利用周期性构造一个特殊函数，优化了解题过程.

【训练2】 (1)(2019·南充二模)设f (x )是周期为4的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )

＝x (1＋x )，则f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－92＝( ) A.－34 B.－14 C.14 D.34

(2)(2017·山东卷)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2).若当x ∈[－3，0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.

解析 (1)∵f (x )是周期为4的奇函数，

∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝－f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12 又0≤x ≤1时，f (x )＝x (1＋x )

故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12⎝ ⎛⎭

⎪⎫1＋12＝－34. (2)∵f (x ＋4)＝f (x －2)，

∴f [(x ＋2)＋4]＝f [(x ＋2)－2]，即f (x ＋6)＝f (x )，

∴f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)，

又f (x )在R 上是偶函数，

∴f (1)＝f (－1)＝6－(－1)＝6，即f (919)＝6.

答案 (1)A (2)6

考点三 函数性质的综合运用

多维探究

角度1 函数单调性与奇偶性

【例3－1】 (2019·石家庄模拟)设f (x )是定义在[－2b ，3＋b ]上的偶函数，且在[－2b ，0]上为增函数，则f (x －1)≥f (3)的解集为( )

A.[－3，3]

B.[－2，4]

C.[－1，5]

D.[0，6] 解析 因为f (x )是定义在[－2b ，3＋b ]上的偶函数，

所以有－2b ＋3＋b ＝0，解得b ＝3，

由函数f (x )在[－6，0]上为增函数，得f (x )在(0，6]上为减函数.故f (x －

1)≥f (3)⇒f (|x －1|)≥f (3)⇒|x －1|≤3，故－2≤x ≤4.

答案 B

规律方法 1.函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性.

2.本题充分利用偶函数的性质f (x )＝f (|x |)，避免了不必要的讨论，简化了解题过程.

角度2 函数的奇偶性与周期性

【例3－2】 (1)(2019·山东省实验中学检测)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x

＋5)＝f (x )，且当x ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，52时，f (x )＝x 3－3x ，则f (2 018)＝( ) A.2 B.－18 C.18 D.－2

(2)(2019·洛阳模拟)已知函数y ＝f (x )满足y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数，且f (1)＝π3，设F (x )＝f (x )＋f (－x )，则F (3)＝( )

A.π3

B.2π3

C.π

D.4π3

解析 (1)∵f (x )满足f (x ＋5)＝f (x )，

∴f (x )是周期为5的函数，

∴f (2 018)＝f (403×5＋3)＝f (3)＝f (5－2)＝f (－2)，

∵f (x )是奇函数，且当x ∈⎝

⎛⎭⎪⎫0，52时，f (x )＝x 3－3x ， ∴f (－2)＝－f (2)＝－(23－3×2)＝－2，

故f (2 018)＝－2.

(2)由y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数知f (－x )＝f (x )，且f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，则f (x ＋2)＝f (x －2).

∴f (x ＋4)＝f (x )，则y ＝f (x )的周期为4.

所以F (3)＝f (3)＋f (－3)＝2f (3)＝2f (－1)＝2f (1)＝2π3.

答案 (1)D (2)B

规律方法 周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.

【训练3】 (1)(2019·重庆九校模拟)已知奇函数f (x )的图象关于直线x ＝3对称，当

x ∈[0，3]时，f (x )＝－x ，则f (－16)＝________.

(2)若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增函数.如

果实数t 满足f (ln t )＋f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫ln 1t ≤2f (1)，那么t 的取值范围是________. 解析 (1)根据题意，函数f (x )的图象关于直线x ＝3对称，则有f (x )＝f (6－x )， 又由函数为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，

则有f (x )＝－f (6－x )＝f (x －12)，

则f (x )的最小正周期是12，

故f (－16)＝f (－4)＝－f (4)＝－f (2)＝－(－2)＝2.

(2)由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数，

所以f (ln t )＝f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫ln 1t ， 由f (ln t )＋f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫ln 1t ≤2f (1)， 得f (ln t )≤f (1).

又函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调递增函数，

所以|ln t |≤1，即－1≤ln t ≤1，故1e ≤t ≤e.

答案 (1)2 (2)⎣⎢⎡⎦

⎥⎤1e ，e

[思维升华]

1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.

2.利用函数奇偶性可以解决以下问题：

(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性.

3.在解决具体问题时，要注意结论“若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是

函数的周期”的应用.

[易错防范]

1.f (0)＝0既不是f (x )是奇函数的充分条件，也不是必要条件.

2.函数f (x )满足的关系f (a ＋x )＝f (b －x )表明的是函数图象的对称性，函数f (x )满足的关系f (a ＋x )＝f (b ＋x )(a ≠b )表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆

.

数学运算——活用函数性质中“三个二级”结论

类型1 奇函数的最值性质

已知函数f (x )是定义在区间D 上的奇函数，则对任意的x ∈D ，都有f (x )＋f (－x )＝0.特别地，若奇函数f (x )在D 上有最值，则f (x )max ＋f (x )min ＝0，且若0∈D ，则f (0)＝0.

【例1】 设函数f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1

的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.

解析 显然函数f (x )的定义域为R ，

f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1

， 设g (x )＝2x ＋sin x x 2＋1

，则g (－x )＝－g (x )， ∴g (x )为奇函数，

由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0，

∴M ＋m ＝[g (x )＋1]max ＋[g (x )＋1]min ＝2＋g (x )max ＋g (x )min ＝2.

答案 2

类型2 抽象函数的周期性

(1)如果f (x ＋a )＝－f (x )(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中一个周期T ＝2a .

(2)如果f(x＋a)＝

1

f（x）

(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.

(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a. 【例2】已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，且当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1，则f(－2 017)＋f(2 018)＝()

A.3

B.2

C.1

D.0

解析因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，

所以f(－2 017)＝－f(2 017)，

因为当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，

所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即当x≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复出现一次.

又当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1，

∴f(2 017)＝f(336×6＋1)＝f(1)＝2，

f(2 018)＝f(336×6＋2)＝f(2)＝3.

故f(－2 017)＋f(2 018)＝－f(2 017)＋3＝1.

答案 C

类型3抽象函数的对称性

已知函数f(x)是定义在R上的函数.

(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b

2对称，特别地，

若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.

(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a，0)对称.

【例3】(2019·日照调研)函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)的值为________.

解析因为函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，

所以函数y ＝f (x )的图象关于(0，0)对称，

所以f (x )是R 上的奇函数，

f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，故f (x )的周期为4.

所以f (2 017)＝f (504×4＋1)＝f (1)＝4，

所以f (2 016)＋f (2 018)＝－f (2 014)＋f (2 014＋4)

＝－f (2 014)＋f (2 014)＝0，

所以f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＝4.

答案

4

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1.(2019·玉溪模拟)下列函数中，既是偶函数，又在(0，1)上单调递增的函数是

( )

A.y ＝|log 3x |

B.y ＝x 3

C.y ＝e |x |

D.y ＝cos |x |

解析 对于A 选项，函数定义域是(0，＋∞)，故是非奇非偶函数，显然B 项中，y ＝x 3是奇函数.

对于C 选项，函数的定义域是R ，是偶函数，且当x ∈(0，＋∞)时，函数是增函数，故在(0，1)上单调递增，正确.

对于D 选项，y ＝cos |x |在(0，1)上单调递减.

答案 C

2.(一题多解)(2019·河北“五个一”名校联盟二模)设函数f (x )是定义在R 上的奇函

数，且f (x )＝⎩⎨⎧log 3（x ＋1），x ≥0，g （x ），x <0，

则g (－8)＝( ) A.－2 B.－3 C.2 D.3

解析 法一 当x <0时，－x >0，且f (x )为奇函数，

则f (－x )＝log 3(1－x )，所以f (x )＝－log 3(1－x ).

因此g (x )＝－log 3(1－x )，x <0，

故g (－8)＝－log 39＝－2.

法二 由题意知，g (－8)＝f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2.

答案 A

3.已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(－2，0)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)等于( )

A.－2

B.2

C.－98

D.98

解析 由f (x ＋4)＝f (x )知，f (x )是周期为4的函数，

f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)，

又f (x ＋4)＝f (x )，∴f (3)＝f (－1)，

由－1∈(－2，0)得f (－1)＝2，

∴f (2 019)＝2.

答案 B

4.(一题多解)(2017·天津卷)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x ).若a ＝g (－log 2

5.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )

A.a <b <c

B.c <b <a

C.b <a <c

D.b <c <a

解析 法一 易知g (x )＝xf (x )在R 上为偶函数，

∵奇函数f (x )在R 上是增函数，且f (0)＝0.

∴g (x )在(0，＋∞)上是增函数.

又3>log 25.1>2>20.8，且a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)，

∴g (3)>g (log 25.1)>g (20.8)，则c >a >b .

法二 (特殊化)取f (x )＝x ，则g (x )＝x 2为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，又3>log 25.1>20.8，

从而可得c >a >b .

答案 C

5.(2019·山东、湖北部分重点中学模拟)已知定义在R 上的函数f (x )在[1，＋∞)上单调递减，且f (x ＋1)是偶函数，不等式f (m ＋2)≥f (x －1)对任意的x ∈[－1，0]恒成立，则实数m 的取值范围是( )

A.[－3，1]

B.[－4，2]

C.(－∞，－3]∪[1，＋∞)

D.(－∞，－4]∪[2，＋∞) 解析 因为f (x ＋1)是偶函数，所以f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，所以f (x )的图象关于x ＝1对称，由f (m ＋2)≥f (x －1)得|(m ＋2)－1|≤|(x －1)－1|，即|m ＋1|≤|x －2|在x ∈[－1，0]恒成立，所以|m ＋1|≤|x －2|min ，所以|m ＋1|≤2，解得－3≤m ≤1.

答案 A

二、填空题

6.若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________.

解析 f (x )为偶函数，则y ＝ln(x ＋

a ＋x 2)为奇函数， 所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0，

则ln(a ＋x 2－x 2)＝0，∴a ＝1.

答案 1

7.若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x

，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________.

解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0，

又f (x )在R 上的周期为2，

∴f (2)＝f (0)＝0.

又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12＝－412＝－2， ∴f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－52＋f (2)＝－2. 答案 －2

8.设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－

11＋x 2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是________.

解析 由f (x )＝ln(1＋|x |)－1

1＋x 2，知f (x )为R 上的偶函数，于是f (x )＞f (2x －1)即

为f (|x |)＞f (|2x －1|).

当x ≥0时，f (x )＝ln(1＋x )－1

1＋x 2，所以f (x )为[0，＋∞)上的增函数，则由f (|x |)

＞f (|2x －1|)得|x |＞|2x －1|，两边平方得3x 2－4x ＋1＜0，解得13＜x ＜1.

答案 ⎝ ⎛⎭

⎪⎫13，1 三、解答题

9.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x >0，

0，x ＝0，

x 2＋mx ，x <0

是奇函数. (1)求实数m 的值；

(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围. 解 (1)设x <0，则－x >0，

所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .

又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x ).

于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，

所以m ＝2.

(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，