《通信原理》习题参考答案

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第三章

3-2.设随机过程ξ(t)可表示成

ξ(t)＝2cos(2πt+θ)

式中θ是一个离散随机变量，且P(θ=0)=1/2、P(θ=π/2)=1/2，试求E[ξ(1)]及Rξ(0,1)。

解：求E[ξ(1)]就是计算t=1时ξ(1)的平均值：

∵ ξ(0)＝2cos(0+θ)＝2cosθ ξ(1)＝2cos(2π+θ)＝2cosθ

∴ E[ξ(1)]＝P(θ=0)×2cos0＋P(θ=π/2)×2cos(π/2) ＝(1/2)×2＋0 ＝1

Rξ(0,1)＝E[ξ(0)ξ(1)]

＝E[2cosθ×2cosθ] ＝E[4cos2θ]

＝P(θ=0)×4cos20＋P(θ=π/2)×4cos2(π/2) ＝(1/2)×4 ＝2

题解：从题目可知，θ是一个离散的随机变量，因此采用数理统计的方法求出ξ(t)在不同时刻上的均值和相关函数就显得比较容易。

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3-3. 设Z(t)＝X1cosω0t－X2sinω0t是一个随机过程，若X1和X2是彼此独立且具有均值为0，方差为σ2的正态随机变量，试求 (1) E[Z(t)]、E[Z2(t)]

(2) Z(t)的一维分布密度函数f(z); (3) B(t1,t2)与R(t1,t2)。

解：(1)∵ E[X1]＝E[X2]＝0，且X1和X2彼此独立

∴ E[Z(t)]＝E[X1cosω0t－X2sinω0t] ＝E[X1cosω0t]－E[X2sinω0t]

＝E[X1]×cosω0t－E[X2]×sinω0t ＝0

E[Z2(t)]＝E[(X1cosω0t－X2sinω0t)2]

＝E[X12cos2ω0t－2 X1 X2 cosω0t sinω0t＋X22sin2ω0t]

＝E[X12cos2ω0t]－E[2 X1 X2 cosω0t sinω0t]＋E[X22sin2ω0t] ＝cos2ω0t E[X12]－2 cosω0t sinω0tE[X1]E[X2]＋sin2ω0t E[X22] ＝cos2ω0t E[X12] ＋sin2ω0t E[X22]

又∵ E[X12]＝D[X1]＋E2 [X1]＝D[X1]＝σ2

E[X22]＝D[X2]＋E2 [X2]＝D[X2]＝σ2

∴ E[Z2(t)]＝σ2 cos2ω0t＋σ2 sin2ω0t ＝σ2 (cos2ω0t＋sin2ω0t) ＝σ2

(2)由于Z(t)＝X1cosω0t－X2sinω0t是由两个正态随机变量X1和X2叠加而成，因此它仍然服从正态分布，即它的

2

(x a)1

f(Z) exp[ ]2

2 2

其中： E[Z(t)]＝0

D[Z(t)]＝E[Z2(t)]－E2 [Z(t)]＝E[Z2(t)]＝σ2

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所以得一维分布密度函数f(Z)为：

2

1]f(Z) exp[2 2 2

(3) B(t1,t2)＝R(t1,t2)－E [Z(t1)] E [Z(t2)] ＝R(t1,t2)

＝E [Z(t1) Z(t2)]

＝E [(X1cosω0t1－X2sinω0t1)( X1cosω0t2－X2sinω0t2)] ＝E [X12cosω0t1 cosω0t2－X1 X2cosω0t1 sinω0t2 －X1X2sinω0t1cosω0t2＋X22sinω0t1 sinω0t2] ＝cosω0t1 cosω0t2E [X12]－cosω0t1 sinω0t2 E [X1 X2]

－sinω0t1cosω0t2 E [X1 X2]＋sinω0t1 sinω0t2 E [X22] ＝cosω0t1 cosω0t2E [X12] ＋sinω0t1 sinω0t2 E [X22] ＝σ2 (cosω0t1 cosω0t2＋sinω0t1 sinω0t2) ＝σ2 cosω0(t1－t2)

＝σ2 cosω0τ 其中τ＝∣t1－t2∣

3-5. 若随机过程z(t)＝m(t)cos(ω0t＋θ)，其中m(t)是宽平稳随机过程，且自相关函数Rm(τ)为

, 1 0 1

( ) 1 ,0 1R 0

,其它

θ是服从均匀分布的随机变量，它与m(t)彼此统计独立。 (1) 证明z(t)是宽平稳的；

(2) 绘出自相关函数Rz(τ)的波形； (3) 求功率谱密度Pz(ω)及功率S。

m

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解：(1) ∵ E[z(t)]＝E[m(t)cos(ω0t＋θ)] （m(t)和θ彼此独立） ＝E[m(t)] E[cos(ω0t＋θ)] E[m(t)]2 cos( t )1d

0 0

2 =0

RZ(τ)＝RZ(t , t+τ) ＝E[z(t) z(t+τ)]

＝E{m(t)cos(ω0t＋θ) m(t+τ)cos[ω0(t+τ)＋θ]} ＝E[m(t) m(t+τ)] E{cos(ω0t＋θ)cos[ω0(t+τ)＋θ]}

2 112 1 Rm( ){ cos[ 0(2t ) 2 ]d cos 0 d }

0022 2 1

Rm( )cos 0 2

由上可见：z(t)的均值E[z(t)]与时间t无关，相关函数RZ(τ)只与时间τ有关

∴ z(t)是宽平稳的随机过程

(2)由RZ(τ)可知：RZ(τ) 时域上相乘的结果，而

12

12

Rm( )cos 0

是由

12

Rm( )和cosω0τ在

Rm( )和cosω0τ在时域上的图形分别如下：

12

Rm( )的波形

cosω0τ的波形

所以RZ(τ)的波形如下：

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RZ(τ

) 的波形

(3)由z(t)＝m(t)cos(ω0t＋θ)可以看出：z(t)是由m(t)和

cos(ω0t＋θ)在时域上的相乘结果，则在频域上有： Pz(ω)＝Pm(ω) *Pc(ω) ，其中Pm(ω)是m(t)的频谱 Pc(ω)是cos(ω0t＋θ)的频谱 又因为 Pm(ω)＝sa(

2

Pc(ω)＝

12

[δ( 0) δ( 1

2

2 4

)

＝sa()

22

1

2

)]

∴Pz(ω)＝Pm(ω) *Pc(ω)

＝sa()*[δ( 0) δ( )0]

222

S＝RZ(0)＝

1

2

1

1 2 0

) ＝ sa(

4 2

sa(

2

2

)

12

Rm(0)cos0＝

12

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3-8.将一个均值为零、功率谱密度为n0/2的高斯白噪声加到一个中心角频率为ωc、带宽为B的理想带通滤波器上，如图P2-1所示。

c c 图

P2-1

(1) 求滤波器输出噪声的自相关函数； (2) 写出输出噪声的一维概率密度函数。

解： (1)先求出频域上的输出噪声功率：

P0

n02

H

2

n0 , c B c B 2

其它 0,

再求时域上的自相关函数，实际上就是频域P0 的傅里叶逆变换：

R0

12

P0 e

j

d

j

d

12

12 12 n04 n04

c B

c

B

P0 en02ee

12

c B

c B

P0 e

j

j

d

c B

c

B

j

d d d

c B

c

n02

Bj

d

[ [

c B

j

c B c B

c B

c

B

ee

d ] d ]

j

c B

c

j

c B

B

n0BS

a

B cos c

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(2)高斯过程通过线性系统时仍然是一个高斯过程，即输出噪声的一维概率密度函数也是一个高斯过程，

又∵a E o(t) i H 0 0 其中 o t 是表示输出噪声的时域表达式， i是表示输入噪声的均值

同时 2 R0 0 E2 o(t) n0BSa 0 cos0 n0B ∴输出噪声的一维概率密度函数为：

f x

x2

exp 2nB 2 n0B0 1

3-11. 设有一个随机二进制矩形脉冲波形，它的每个脉冲的持续时间为Tb，脉冲幅度取±1的概率相等。现假设任一间隔Tb内波形取值与任何别的间隔内取值统计无关，且过程具有宽平稳性，试证： (1)自相关函数

R

1 /Tb , Tb

( )

0 , Tb

(2)功率谱密度Pξ(ω)＝Tb[Sa(πf Tb)]2 。

解：(1) R ( ) R t,t E t t ，实际上就是求在时间t和t+τ时， t t 的乘积的均值。

当 Tb时， t 和 t 的取值互相独立，如图(a)所示

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于是有： R ( ) E t t E t E t

11 11

1 1 1 1

22 22

0

当 Tb时， t 和 t第一种情况： t 和 t

t

的取值有两种情况：

都在同一个Tb范围内，也就是说 t 和

Tb Tb

的取值相同，这种情况的概率是

如图(b)所示

设此时的自相关函数为R 1( ),则有 R 1( ) E t t

11 Tb

1 1 1 1

22 Tb

Tb Tb

第二种情况： t 和 t 不在同一个Tb范围内，也就是说 t 和

t 的取值分别是两个相邻的码元，这时 t 和 t 是相互独立的，如图(c)所示

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设此时的自相关函数为R 2( ),则有 R 2( ) E t t E t E t

11 11

1 1 1 1

22 22

0

∴当 Tb时：R ( ) R 1

R 2

Tb Tb

综上所述，有

(2)P ( )

1 /T , Tb

b

R ( )

0 , Tb

R

由R 的取值可以画出它的波形，如图(d)所示：

2 Tb

∴P ( ) TbSa

2

2 2 fTb

TbSa

2

TbSa fTb

2

图(d)

3-13. 若ξ(t)是一个平稳随机过程，自相关函数为Rξ(τ)，试求它通过如图P2-5系统后的自相关函数及功率谱密度。

ξ

图

P2-5

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解：设输入信号 t 的功率谱密度为P ；输出信号为 o t ，它的自相关函数为Ro ，它的功率谱密度为Po ，于是有： o t t t T

o t t t T R P

R T P e j （傅氏变换的时延特性） R T P ej

∴Ro E o t o t

E t t T t t T E t t t t T

t T t t T t T E t t E t t T

E t T t T T E t T t T R R T R T R 2R R T R T

Po Ro

j Tj T

P e 2P P e j Tj T e P 2 e

P 2 2cos T 2P 1 cos T