《通信原理》习题参考答案

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第三章

3-2.设随机过程ξ(t)可表示成

ξ(t)＝2cos(2πt+θ)

式中θ是一个离散随机变量，且P(θ=0)=1/2、P(θ=π/2)=1/2，试求E[ξ(1)]及Rξ(0,1)。

解：求E[ξ(1)]就是计算t=1时ξ(1)的平均值：

∵ ξ(0)＝2cos(0+θ)＝2cosθ ξ(1)＝2cos(2π+θ)＝2cosθ

∴ E[ξ(1)]＝P(θ=0)×2cos0＋P(θ=π/2)×2cos(π/2) ＝(1/2)×2＋0 ＝1

Rξ(0,1)＝E[ξ(0)ξ(1)]

＝E[2cosθ×2cosθ] ＝E[4cos2θ]

＝P(θ=0)×4cos20＋P(θ=π/2)×4cos2(π/2) ＝(1/2)×4 ＝2

题解：从题目可知，θ是一个离散的随机变量，因此采用数理统计的方法求出ξ(t)在不同时刻上的均值和相关函数就显得比较容易。

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3-3. 设Z(t)＝X1cosω0t－X2sinω0t是一个随机过程，若X1和X2是彼此独立且具有均值为0，方差为σ2的正态随机变量，试求 (1) E[Z(t)]、E[Z2(t)]

(2) Z(t)的一维分布密度函数f(z); (3) B(t1,t2)与R(t1,t2)。

解：(1)∵ E[X1]＝E[X2]＝0，且X1和X2彼此独立

∴ E[Z(t)]＝E[X1cosω0t－X2sinω0t] ＝E[X1cosω0t]－E[X2sinω0t]

＝E[X1]×cosω0t－E[X2]×sinω0t ＝0

E[Z2(t)]＝E[(X1cosω0t－X2sinω0t)2]

＝E[X12cos2ω0t－2 X1 X2 cosω0t sinω0t＋X22sin2ω0t]

＝E[X12cos2ω0t]－E[2 X1 X2 cosω0t sinω0t]＋E[X22sin2ω0t] ＝cos2ω0t E[X12]－2 cosω0t sinω0tE[X1]E[X2]＋sin2ω0t E[X22] ＝cos2ω0t E[X12] ＋sin2ω0t E[X22]

又∵ E[X12]＝D[X1]＋E2 [X1]＝D[X1]＝σ2

E[X22]＝D[X2]＋E2 [X2]＝D[X2]＝σ2

∴ E[Z2(t)]＝σ2 cos2ω0t＋σ2 sin2ω0t ＝σ2 (cos2ω0t＋sin2ω0t) ＝σ2

(2)由于Z(t)＝X1cosω0t－X2sinω0t是由两个正态随机变量X1和X2叠加而成，因此它仍然服从正态分布，即它的

2

(x a)1

f(Z) exp[ ]2

2 2

其中： E[Z(t)]＝0

D[Z(t)]＝E[Z2(t)]－E2 [Z(t)]＝E[Z2(t)]＝σ2

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所以得一维分布密度函数f(Z)为：

2

1]f(Z) exp[2 2 2

(3) B(t1,t2)＝R(t1,t2)－E [Z(t1)] E [Z(t2)] ＝R(t1,t2)

＝E [Z(t1) Z(t2)]

＝E [(X1cosω0t1－X2sinω0t1)( X1cosω0t2－X2sinω0t2)] ＝E [X12cosω0t1 cosω0t2－X1 X2cosω0t1 sinω0t2 －X1X2sinω0t1cosω0t2＋X22sinω0t1 sinω0t2] ＝cosω0t1 cosω0t2E [X12]－cosω0t1 sinω0t2 E [X1 X2]

－sinω0t1cosω0t2 E [X1 X2]＋sinω0t1 sinω0t2 E [X22] ＝cosω0t1 cosω0t2E [X12] ＋sinω0t1 sinω0t2 E [X22] ＝σ2 (cosω0t1 cosω0t2＋sinω0t1 sinω0t2) ＝σ2 cosω0(t1－t2)

＝σ2 cosω0τ 其中τ＝∣t1－t2∣

3-5. 若随机过程z(t)＝m(t)cos(ω0t＋θ)，其中m(t)是宽平稳随机过程，且自相关函数Rm(τ)为

, 1 0 1

( ) 1 ,0 1R 0

,其它

θ是服从均匀分布的随机变量，它与m(t)彼此统计独立。 (1) 证明z(t)是宽平稳的；

(2) 绘出自相关函数Rz(τ)的波形； (3) 求功率谱密度Pz(ω)及功率S。

m

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解：(1) ∵ E[z(t)]＝E[m(t)cos(ω0t＋θ)] （m(t)和θ彼此独立） ＝E[m(t)] E[cos(ω0t＋θ)] E[m(t)]2 cos( t )1d

0 0

2 =0

RZ(τ)＝RZ(t , t+τ) ＝E[z(t) z(t+τ)]

＝E{m(t)cos(ω0t＋θ) m(t+τ)cos[ω0(t+τ)＋θ]} ＝E[m(t) m(t+τ)] E{cos(ω0t＋θ)cos[ω0(t+τ)＋θ]}

2 112 1 Rm( ){ cos[ 0(2t ) 2 ]d cos 0 d }

0022 2 1

Rm( )cos 0 2

由上可见：z(t)的均值E[z(t)]与时间t无关，相关函数RZ(τ)只与时间τ有关

∴ z(t)是宽平稳的随机过程

(2)由RZ(τ)可知：RZ(τ) 时域上相乘的结果，而

12

12

Rm( )cos 0

是由

12

Rm( )和cosω0τ在

Rm( )和cosω0τ在时域上的图形分别如下：

12

Rm( )的波形

cosω0τ的波形

所以RZ(τ)的波形如下：

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RZ(τ

) 的波形

(3)由z(t)＝m(t)cos(ω0t＋θ)可以看出：z(t)是由m(t)和

cos(ω0t＋θ)在时域上的相乘结果，则在频域上有： Pz(ω)＝Pm(ω) *Pc(ω) ，其中Pm(ω)是m(t)的频谱 Pc(ω)是cos(ω0t＋θ)的频谱 又因为 Pm(ω)＝sa(

2

Pc(ω)＝

12

[δ( 0) δ( 1

2

2 4

)

＝sa()

22

1

2

)]

∴Pz(ω)＝Pm(ω) *Pc(ω)

＝sa()*[δ( 0) δ( )0]

222

S＝RZ(0)＝

1

2

1

1 2 0

) ＝ sa(

4 2

sa(

2

2

)

12

Rm(0)cos0＝

12

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3-8.将一个均值为零、功率谱密度为n0/2的高斯白噪声加到一个中心角频率为ωc、带宽为B的理想带通滤波器上，如图P2-1所示。

c c 图

P2-1

(1) 求滤波器输出噪声的自相关函数； (2) 写出输出噪声的一维概率密度函数。

解： (1)先求出频域上的输出噪声功率：

P0

n02

H

2

n0 , c B c B 2

其它 0,

再求时域上的自相关函数，实际上就是频域P0 的傅里叶逆变换：

R0

12