第四章 矩阵的特征值和特征向量§4.1 相似矩阵法国数学家柯西:给出了特征方程的术语, 证明了任意阶实对称矩阵都有实特征值 给出了相似矩阵的概念, 证明了相似矩阵有相同的特征值

英国数学家凯莱:方阵的特征方程和特征根(特征值)的一些结论

德国数学家克莱伯施, 布克海姆(A.Buchheim)等:证明了对称矩阵的特征根性质

泰伯(H.Taber):引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论

1854 年, 法国数学家约当矩阵化为标准型的问题

§4.2 §4.3 §4.4

第四章 矩阵的特征值和特征向量

§4.1 相似矩阵

一. 问题

习题1(B). 23 设P 1AP求A11. A = P P 1 11 1 4 , = 1 0 , = , P = 1 1 0 2 1 0 = 0 211

A11 = (P P 1)(P P 1)(P P 1)…(P P 1) = P 11P 1

第四章 矩阵的特征值和特征向量

§4.1 相似矩阵

二. 相似矩阵的定义

A与B相似(similar): P, s.t. P 1AP =B. 记为A~B.易见, 矩阵间的相似关系满足 (1) 反身性: A~A; (2) 对称性: A~B B~A; (3) 传递性: A~B, B~C A~C.

第四章 矩阵的特征值和特征向量

§4.1 相似矩阵

三. 相似矩阵的性质 性质1. 设A~B, f是一个多项式, 则f(A)~ f(B).

证明: 设P 1AP =B, f(x) = anxn+…+a1x+a0, 则P 1f(A)P = P 1(anAn+…+a1A+a0E)P = anP 1AnP+…+a1P 1AP+a0 P 1EP

= an(P 1AP)n+…+a1P 1AP+a0E= anBn+…+a1B+a0E

= f(B).

第四章 矩阵的特征值和特征向量

§4.1 相似矩阵

性质2. 设A~B, 则|A| = |B|.证明: P 1AP = B |P 1AP| = |B| |P 1| |A| |P| |P| 1 |A| |P| |A| = = =

性质3. 设A~B, 则r(A) = r(B).证明: P 1AP = B r(A) = r(B).

第四章 矩阵的特征值和特征向量

§4.1 相似矩阵

a11 a12 a21 a22 A= … … an1 an2

… a1n … a2n … … … a1n

A的迹(trace): tr(A) = a11 + a22 + … + a1n (1) tr(A+B) = tr(A) + tr(B);(2) tr(kA) = ktr(A); (3) tr(AB) = tr(BA).

第四章 矩阵的特征值和特征向量

§4.1 相似矩阵

性质4. 设A~B, 则tr(A) = tr(B).证明: P 1AP = B tr(B) = tr(P 1AP) = tr(APP 1)

= tr(A).

第四章 矩阵的特征值和特征向量

§4.1 相似矩阵

四. 相似对角化(diagonalize) 1. 定义:

A~ =

1 0 … 0 0 2 … 0

… … … … 0 0 … n

= P 1AP

P = ( 1, …, n)可逆 1, …, n线性无关 P 1AP = AP = P

(A 1, …, A n) = ( 1 1, …, n n)

第四章 矩阵的特征值和特征向量

§4.1 相似矩阵

2. 条件: 定理4.1. An n ~ 对角矩阵 1, …, n和线性无关的 1, …, n, s.t. A i = i i (i = 1, …, n).

在此条件下, 令P = ( 1, …, n), = diag( 1, …, n), 则P 1AP = .

第四章 矩阵的特征值和特征向量

§4.2 特征值与特征向量

§4.2 特征值与特征向量 一. 定义 n阶方阵 特征值(eigenvalue) 对应

A = 非零向量

特征向量(eigenvector)

“Eigen” is German for “characteristic of” or “peculiar to”; some authors call these characteristic values and vectors. No authors call them “peculiar”.

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§4.2 特征值与特征向量

特征值 特征矩阵 A = ( E–A) = 0 | E–A| = 0 特征方程(characteristic equation)

特征向量

E–A特征多项式(characteristic polynomial)

–a21 | E–A| = … –an1

–a11

–a12 –a22 … –an2

… –a1n … –a2n … … … –ann

第四章 矩阵的特征值和特征向量

§4.2 特征值与特征向量

二. 计算 1. 理论依据 定理4.2. (1) 0为A的特征值 | 0E–A| = 0. (2) 为A的对应于 0特征向量 ( 0E–A) = 0. 2. 步骤 计算| E–A|

求| E–A| = 0的根 i求( iE–A)x = 0的基础解系

第四章 矩阵的特征值和特征向量

§4.2 特征值与特征向量

3 1 例1. 求A = 的特征值和特征向量. 1 3 –3 1 = ( –2)( –4). 解: | E–A| = 1 –3

所以A的特征值为 1=2, 2=4. x1 + x2 = 0 对于 1=2, (2E–A)x = 0 即 x x = 0 1 2 x1 1 (0 k R). 解之得 =k x2 1 k (0 k R). A的对应于 1=2的特征向量为 k

第四章 矩阵的特征值和特征向量

§4.2 特征值与特征向量

3 1 例1. 求A = 的特征值和特征向量. 1 3 –3 1 = ( –2)( –4). 解: | E–A| = 1 –3

所以A的特征值为 1=2, 2=4.x1 + x 2 = 0 对于 2=4, (4E–A)x = 0 即 x + x = 0 1 2 x1 1 (0 k R). 解之得 =k x2 1 k (0 k R). A的对应于 2=4的特征向量为 k

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§4.2 特征值与特征向量

例2. 求

解: | E–A| = ( –2)( –1)2. 所以A的特征值为 1=2, 2= 3= 1. 对于 1=2, 求得(2E–A)x = 0 的基础解系: p1=(0,0,1)T. 对应于 1=2的特征向量为kp1 (0 k R). 对于 2= 3=1, 求得(E–A)x = 0 的基础解系: p2=(–1, –2,1)T. 对应于 2= 3 =1的特征向量为kp2 (0 k R).

1 1 0 A 4 3 0 的特征值和特征向量. 1 0 2

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§4.2 特征值与特征向量

例3. 求

解: | E–A| = ( +1)( –2)2. 所以A的特征值为 1= –1, 2= 3= 2. (–E–A)x = 0的基础解系: p1=(1,0,1)T. 对应于 1= –1的特征向量为kp1 (0 k R). (2E–A)x = 0的基础解系: p2=(0, 1, –1)T, p3=(1, 0, 4)T. 对应于 2= 3 =2的特征向量为k2p2 +k3p3 (k2, k3不同时为零).

2 1 1 A 0 2 0 的特征值和特征向量. 4 1 3