Romberg算法的实验报告

Romberg算法

一、实验目的：学会数值求积的Romberg算法,并应用该算法于实际问

题.

1

二、实验内容：求定积分 三、实验要求：

xdx

0.5

（1）要求程序不断加密对积分区间的等分,自动地控制Romberg算法中的

加速收敛过程,直到定积分近似值的误差不超过10为止,输出求得的定积分近似值。

（2）可用MATLAB中的内部函数int求得此定积分的准确值与Romberg算法计算的近似值进行比较。

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四、实验基本原理

Romberg方法是使用行很强的一种数值积分方法，其收敛速度很快，这里直接给出Romberg积分的计算方法。

1

（1）计算R(0,0) (b a)[f(a) f(b)]

2hi 121

（2）计算R(r,0) R(i 1,0) 22k 1

i 1

1

f a k hi 1 2

4j 1R(m,j 1) R(m 1,j 1)

（3）R(m,j)

4j 1 1

这样就构成了Romberg积分的基本步骤，其计算步骤可以表1.1来表示：

表1.1 Romberg积分

可以证明Romberg方法是数值稳定的。

五、实验过程：

1、编写主函数。打开Editor编辑器，输入romberg法主程序语句：

function [R,wugu,h]=romberg(fun,a,b, wucha,m) n=1;h=b-a; wugu=1; x=a;k=0; RT=zeros(4,4); RT(1,1)=h*(feval(fun,a)+feval(fun,b))/2; while((wugu>wucha)&(k<m)|(k<4)) k=k+1; h=h/2; s=0; for j=1:n

x=a+h*(2*j-1); s=s+feval(fun,x); end

RT(k+1,1)= RT(k,1)/2+h*s; n=2*n; for i=1:k

RT(k+1,i+1)=((4^i)*RT(k+1,i)-RT(k,i))/(4^i-1); end

wugu=abs(RT(k+1,k)-RT(k+1,k+1)); end

R=RT(k+1,k+1); 以文件名romberg.m保存。 2、运行程序。

（1）在MATLAB命令窗口输入：

F=inline('sqrt(x)');

[R,wugu,h]=romberg(F,0.5,1,1.e-6,10)

syms x

fi=int(sqrt(x),x,0.5,1); Fs=double(fi), wR=double(abs(fi-R)), wR1= wR - wugu 回车得到：

R = 0.430964406263892 wugu =8.906264614694237e-12 h =0.031250000000000

Fs = 0.430964406271151 wR =7.258672750871873e-12 wR1 = -1.647591863822364e-12 （2）在MATLAB命令窗口输入：

>> x=0.5:0.01:1;y=sqrt(x);area(x,y) grid

回车得到如下图1.2所示：

图1.2 积分的几何意义

六、实验结果分析：

由运行后的所求积分的精确值Fs=0.430964406271151，取精度为10 6，利用龙贝格求积公式的romberg.m程序计算所求积分的近似值R=0.430964406263892，所得相邻两次迭代的绝对误差为

wugu=8.906264614694237e-12，最小步长h=0.031250000000000，定积分的精确值的近似值Fs= 0.430964406271151，近似值R与精确值Fs的绝对误差wR=7.258672750871873e-12，已经达到所要求的精度10 6wR与wugu的绝对误差为wR1 = -1.647591863822364e-12，即两者很接近。

计算结果已经给出了符合精度的数值。在图1.2中给出了积分的几何意义，即图中阴影部分面积，为0.430964406271151。

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