第十一章 动量矩定理 习题解

[习题11-1] 刚体作平面运动。已知运动方程为：xC 3t2，yC 4t2，

13

t，其中长2

度以m计，角度以rad计，时间以s计。设刚体质量为10kg，对于通过质心C且垂直于图平面的惯性半径 0.5m，求t 2s时刚体对坐标原点的动量矩。 解：

y

2

xC|t 2 3 2 12(m) yC|t 2 4 22 16(m)

vCx

dxd

C (3t2) 6t dtdt

x

vCx|t 2 6 2 12(m/s)

vCy

dyd

C (4t2) 8t dtdt

vCy|t 2 8 2 16(m/s)

d d133 (t) t2 dtdt223

|t 2 22 6(rad/s)

2

LO [JCz MZ(mvC)]k

LO [m mvCyxC mvCxyC]k

LO|t 2 10 [0.5 6 16 12 12 16]k

LO|t 2 15k (kg m/s)，k是z轴正向的单位向量。

[习题11-2] 半径为R，重为W的均质圆盘固结在长l，重为P的均质水平直杆AB的B端，绕铅垂轴Oz以角速度 旋转，求系统对转轴的动量矩。 解：

2

2

2

Jz,AB

1P2Pl2

l

3g3g

1

Jz,l圆盘

1W2W2W(R2 4l2)

R l

4gg4g

Lz Jz,AB Jz,圆盘 Pl2W(R2 4l2)

Lz [

3g4gLz (

Pl4WlWR

) 3g4g4g

2

2

2

Pl23Wl2WR2

Lz (

3g3g4g

Lz (

P 3W2W2

l R) 3g4g

[习题11-3] 已知均质圆盘质量为m，半径为R，当它作图示四种运动时，对固定点O1的动量矩分别为多大？图中O1C l。 解：(a)

因为圆盘作平动，所以

OLO1 JO1z ml2

解：(b)

(a) 平动

(

b) 绕定轴C转动

LO1 LC rC p

其中，质心C的动量为0

LO1 JCz

解：(c)

1

mR2 2

O1

1

LO1 JO1z (mR2 ml2)

2

解：(d)

因为圆盘作平面运动，所以：

LO1 JCz MO1Z(mvC)

(c) 绕定轴O

1转动

(d) 在圆弧上作纯滚动

2

LO1 LO1

1

mR2 mR (R l) 211

(R2 R2 Rl)m mR(R2 l) 22

[习题11-4] 均质直杆AB长为l，质量为m，A、B两端分别沿铅垂和水平轨道滑动。求该杆对质心C和对固定点O的动量矩LC和LO（表示为 和 的函数）。 解：(1) 求LC

yA lcos

vdyA

A dt

lsin l sin

xB lsin

vB

dxB

lcos

l

dt

cos

AB

vBBI l cos lcos

（逆时针，转向如图所示） L

C JC AB MC(mvC)

LC JC AB 0

L12

C 12ml

L 12

C 12

ml k

（2）求LO

OC l2

cos2

l24 2 lcos l

2

cos

OC

l

2

2IC l2

cos2

l4 2 lcos l

2

cos

IC l

2 x l

C2

sin

3

v

AvB

dxCl 12 ml2

cos LO ml vCx dt234ll

yC sin(900 ) cos

22

vCy

dyCl sin dt2

LO JCz AB MOz(mvC) LO

1

ml2 mvCxyC mvCyxC 12

1l ll l2

LO ml m cos cos m sin sin

122222

1ml2 ml2 22

LO ml cos sin2

1244 1ml2 2

LO ml (cos2 sin2 )

124 1ml2 2

LO ml

124

12

LO ml

6 12 LC ml k

6

[习题11-5] 均质杆AB长l、重P（小球可视为质点），杆上D点1，B端刚连一重P2的小球连一刚度系数为k的弹簧，使杆在水平位置保持平衡。设给小球B一微小初位移 0后无初速释放，试求AB杆的运动规律。 解：以AB杆为研究对象，其受力

如图所示。 质点系的动量矩为：

LO JOz m2l2 P1l2P LO 2l2

3gg

外力矩为：

4

MO(Fi) TD

ll

P1 P2l 32

k llMO(Fi) P1 P2l

332 kl llMO(Fi) P1 P2l

332

y

Rz

MO(Fi)

kl l

P1 P2l 92

2

由动量矩定理得：

dLO

MO(Fi) dt

P1l2P22dkl2 P1l( l ) P2l dt3gg92P1l2d P22d kl2 P1l

l P2l

3gdtgdt92

(

P1P2d kl P1

)l P2 3ggdt92

kl P1

P292 P1P2( )l3gg

2kl 9P118P2

181818 P3P(1 2)l3g3g

d

dt

d

dt

( 2kl 9P1 18P2)d 18

(P1 3P2)ldt

3g

d ( 2kl 9P1 18P2)g

dt6(P1 3P2)l

d2 kg3g

2

3(P1 3P2)2ldt

5

d2 kg3g

0 2

3(P1 3P2)2ldt

令： 0

2

kg

，则上式变为：

3(P1 3P2)3g 2l

02

通解为：

Asin( 0t )

|t 0 Asin( 0 0 ) 0

sin 0

[习题11-6] 两个重物A、B各重P分别系在两条绳上，此两绳又分别围绕半径为r1、1、P2， r2的鼓轮上，重物受重力影响而运动。求鼓轮的角加速度 。鼓轮和绳的质量均略去不计。解：质点系的动量矩为：

LO JOz m1v1r1 m2v2r2

LO (JOz mr mr)

外力对O点之矩为：

2

11222

M0(Fi) P1r1 P2r2

由动量矩定理可知：

dLO

MO(Fi) dt

2

d

[(JOz m1r12 m2r22) ] P1r1 P2r2 dt

d

(JOz m1r12 m2r22) P1r1 P2r2

dt

(JOz m1r12 m2r22) P1r1 P2r2

P1r1 P2r2

22

Joz m1r1 m2r2

6

P1r1 P2r2

PP1

0 R2 1r12 2r222gg

P1r1 P2r2

g

P1r12 P2r22

[习题11-7] 一倒置的摆由两根相同的弹簧支持。设摆轴圆球与直杆组成，球重W，半径为r，杆重不计。弹簧的刚度系数为k。问当摆从平衡位置向左或向右有一微小偏移后，是否振动？写出能发和振动的条件。 解：质点系的受力如图所示。

1WW

LO ( r2 l2)

2gg

MO(Fi) 2FAbcos Wltan MO(Fi) 2(kb )b Wl MO(Fi) (Wl 2kb2)

由动量矩定理得：

d1W2W2

[( r l) ] (Wl 2kb2) dt2gg

A

(r 2l)Wd

(Wl 2kb2)

2gdt

22

FOx

d2 2(Wl 2kb2)g 222

dt(r 2l)Wd2 2(2kb2 Wl)g

0 dt2(r2 2l2)W2(2kb2 Wl)g令 ，则： 22

(r 2l)W

20

Oy

02 0

上式的通解为：

Asin( 0t )

7

2(2kb2 Wl)g2

能发出振动的条件是： 0 0，即：[] 0，也就是：

(r2 2l2)W

2kb2 Wl 0 k

Wl

2b2

1

[习题11-8] 卷扬机的B、C轮半径分别为R、r，对水平转动轴的转动惯量为J1、J2，物体重P。设在轮C上作用一常力矩M，试求物体A上升的加速度。 解：以轮B为研究对象，应用动量矩定理得：

dLB

MB(Fi) dt

dP

( J1 vR) PR TR dtgd PdvJ1 R (T P)R dtgdtJ1

PR

a (T P)R g

PR2

J1R a (T P)R2

g

PR2

J1a a (T P)R2………(1)

g

以轮C为研究对象，应用动量矩定理得：

dLC

MC(Fi) dt

d

(J2 2) M T'r dt

J2

d 2

M T'r dt

J2 2 M T'r J2r 2 Mr T'r2

8

J2a Mr Tr2

T

Mr J2a

………(2) 2

r

(2) 代入（1）得：

PR2

J1a a (T P)R2

gMr J2aPR22

(J1 )a ( P)R2

grPR2MR2J2R2

(J1 )a 2a PR2

grrPR2J2R2MR2

(J1 2)a PR2

grr

MR2r PR2r2MR22

PR2 a 222222RPR(J1r J2R)g PRrJ1 2J2

grr2g

(M Pr)R2rg

a 2222

(J1r J2R)g PRr

9