2019高考数学一轮复习 第六章 数列 6.3 等比数列及其前n项和练习 文

§6.3等比数列及其前n项和

考纲解读

分析解读

本节在高考中主要考查等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式及等比中项等相关内容.对等比数列的定义、通项公式、性质及等比中项的考查,常以选择题、填空题的形式出现,难度较小.对前n项和以及与其他知识(函数、不等式)相结合的考查,多以解答题的形式出现,注重题目的综合与新颖,突出对逻辑思维能力的考查.本节内容在高考中分值为5分左右,难度不大.

五年高考

考点一等比数列的定义及通项公式

1.(2014安徽,12,5分)如图,在等腰直角三角形ABC中,斜边BC=

2.过点A作BC的垂线,垂足为A1;过点A1作AC的垂线,垂足为A2;过点A2作A1C的垂线,垂足为A3;……,依此类推.设BA=a1,AA1=a2,A1A2=a3,……,A5A6=a7,则a7= .

答案

2.(2017课标全国Ⅱ,17,12分)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,等比数列{b n}的前n项和为T n,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.

(1)若a3+b3=5,求{b n}的通项公式;

(2)若T3=21,求S3.

解析设{a n}的公差为d,{b n}的公比为q,则a n=-1+(n-1)d,b n=q n-1.

由a2+b2=2得d+q=3.①

(1)由a3+b3=5得2d+q2=6.②

联立①和②解得(舍去),或

因此{b n}的通项公式为b n=2n-1.

(2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0.

解得q=-5或q=4.

当q=-5时,由①得d=8,则S3=21.

当q=4时,由①得d=-1,则S3=-6.

3.(2016课标全国Ⅰ,17,12分)已知{a n}是公差为3的等差数列,数列{b n}满足b1=1,b2=,a n b n+1+b n+1=nb n.

(1)求{a n}的通项公式;

(2)求{b n}的前n项和.

解析(1)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=,得a1=2,(3分)

所以数列{a n}是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为a n=3n-1.(5分)

(2)由(1)和a n b n+1+b n+1=nb n得b n+1=,(7分)

因此{b n}是首项为1,公比为的等比数列.(9分)

记{b n}的前n项和为S n,

则S n ==-.(12分)

教师用书专用(4—7)

4.(2014福建,17,12分)在等比数列{a n}中,a2=3,a5=81.

(1)求a n;

(2)设b n=log3a n,求数列{b n}的前n项和S n.

解析(1)设{a n}的公比为q,依题意得

解得因此,a n=3n-1.

(2)因为b n=log3a n=n-1,

所以数列{b n}的前n项和S n ==.

5.(2014北京,15,13分)已知{a n}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{b n}满足b1=4,b4=20,且{b n-a n}为等比数列.

(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;

(2)求数列{b n}的前n项和.

解析(1)设等差数列{a n}的公差为d,由题意得

d===3.所以a n=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…).

设等比数列{b n-a n}的公比为q,由题意得

q3===8,解得q=2.

所以b n-a n=(b1-a1)q n-1=2n-1.

从而b n=3n+2n-1(n=1,2,…).

(2)由(1)知b n=3n+2n-1(n=1,2,…).

数列{3n}的前n 项和为n(n+1),数列{2n-1}的前n项和为1×=2n-1.

所以数列{b n}的前n 项和为n(n+1)+2n-1.

6.(2013四川,16,12分)在等比数列{a n}中,a2-a1=2,且2a2为3a1和a3的等差中项,求数列{a n}的首项、公比及前n项和.

解析设该数列的公比为q.由已知,可得

a1q-a1=2,4a1q=3a1+a1q2,

所以a1(q-1)=2,q2-4q+3=0,解得q=3或q=1.

由于a1(q-1)=2,因此q=1不合题意,应舍去.

故公比q=3,首项a1=1.

所以数列的前n项和S n =.

7.(2013天津,19,14分)已知首项为的等比数列{a n}的前n项和为S n(n∈N*),且-2S2,S3,4S4成等差数列. (1)求数列{a n}的通项公式;

(2)证明S n +≤(n∈N*).

解析(1)设等比数列{a n}的公比为q,因为-2S2,S3,4S4成等差数列,所以S3+2S2=4S4-S3,即S4-S3=S2-S4,

可得2a4=-a3,于是q==-.又a1=,所以等比数列{a n}的通项公式为a n =×=(-1)n-1·.

(2)证明:S n =1-,S n +=1-+=

当n为奇数时,S n +随n的增大而减小,所以S n +≤S1+=.

当n为偶数时,S n +随n的增大而减小,所以S n +≤S2+=.

故对于n∈N*,有S n +≤.

考点二等比数列的性质及其应用

1.(2015课标Ⅱ,9,5分)已知等比数列{a n}满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2=( )

A.2

B.1

C.

D.

答案 C

2.(2015广东,13,5分)若三个正数a,b,c成等比数列,其中a=5+2,c=5-2,则b= .

答案 1

3.(2014广东,13,5分)等比数列{a n}的各项均为正数,且a1a5=4,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5= .

答案 5

教师用书专用(4—5)

4.(2014大纲全国,8,5分)设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2=3,S4=15,则S6=( )

A.31

B.32

C.63

D.64

答案 C

5.(2013辽宁,14,5分)已知等比数列{a n}是递增数列,S n是{a n}的前n项和.若a1,a3是方程x2-5x+4=0的两个根,则S6= .

答案63

考点三等比数列的前n项和公式

1.(2013课标全国Ⅰ,6,5分)设首项为1,公比为的等比数列{a n}的前n项和为S n,则( )

A.S n=2a n-1

B.S n=3a n-2

C.S n=4-3a n

D.S n=3-2a n

答案 D

2.(2017江苏,9,5分)等比数列{a n}的各项均为实数,其前n项和为S n.已知S3=,S6=,则a8= .

答案32

3.(2015课标Ⅰ,13,5分)在数列{a n}中,a1=2,a n+1=2a n,S n为{a n}的前n项和.若S n=126,则n= .

答案 6

4.(2017课标全国Ⅰ,17,12分)记S n为等比数列{a n}的前n项和.已知S2=2,S3=-6.

(1)求{a n}的通项公式;

(2)求S n,并判断S n+1,S n,S n+2是否成等差数列.

解析(1)设{a n}的公比为q,由题设可得,

解得q=-2,a1=-2.

故{a n}的通项公式为a n=(-2)n.

(2)由(1)可得S n ==-+(-1)n ·.

由于S n+2+S n+1=-+(-1)n ·

=2=2S n,

故S n+1,S n,S n+2成等差数列.

5.(2016北京,15,13分)已知{a n}是等差数列,{b n}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.

(1)求{a n}的通项公式;

(2)设c n=a n+b n,求数列{c n}的前n项和.

解析(1)等比数列{b n}的公比q===3,(1分)

所以 …… 此处隐藏：7542字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……