数学建模宿舍人员分配的问题

时间：2025-07-10

数学建模宿舍人员分配的问题

数学建模作业题（一）

摘要：

我们遇到人员分配的问题，我们很自然就会想到人多一方分的多，人少一方分的少。但粗略的分配到底是否公平，我们必须好好考虑一下，本题就是讨论人员分配的公平性问题。依据题中给出的信息、条件，讨论一下到底怎么分配是公平的，本题是关于10个名额的分配问题，分别使用了比例模型、Q值法、d’Hondt法。然后，将名额增至15人后代回上述模型进行检验，发现结论相差不大。得出应将三个模型综合考虑较为合理。即：先用比例法确定基础，然后用d’Hondt法分配，再用Q值法调整。而且我们通过d’Hondt法得出自己的一种方法，即调整其除数以获取合理的分配方案。

一、问题的重述

有这样一个关于选学生委员的问题。学校有1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，怎样公平合理的分配各宿舍的委员数。再进一步讨论验证：如果人数增至15人，用之前使用的方法还公不公平。

二、问题分析

首先建立一个比例加惯例模型，然后因为A,B,C宿舍的人数都不是整百，是无规律不成比例的，所以在题（2）中用Q值法进一步讨论分析，最后用d’Hondt进行比较。

三、模型假设

（1）各个宿舍相互独立互不影响，且始终人数保持不变(无搬入搬出现象)；

（2）分配时严格遵循制定的方案；

（3）几个委员无等级差别

四、模型的建立与求解

(1)模型Ⅰ：比例加惯例方案

由题意可知，取整数的名额后，A宿舍2人，B宿舍3人，C宿舍4人。由于小数部分，A是0.35，B是0.33，C是0.32，则剩下的一个名额应该分配给A宿舍，故而最后的结果是3，3，4。

由Q值法，先由比例计算结果将整数部分的9个名额分配完毕，有nA =2，

数学建模宿舍人员分配的问题

pinB=3，nC=4，然后可用Q值法分配第10个名额。利用公式Qi ,i 1,2, ,mnini 1计算，QA=2352/(2*3)=9204.2，QB=3332/(3*4)=9240.8，QC=4322/(4*5)=9331.2，QC最大，于是这一名额应分给C宿舍。故而最后的分配结果是2，3，5。

d’Hondt方法的原理即:取一个人时，他所能代表的人数。如取5人时，商为每个人在该群体中所能代表的个数。

将A,B,C各宿舍的人数用正整数n 1,2,3, 相除，其商数如下表：

五，模型的检验

如果将人数增至为15人，结合10人时的情况，以此检验各个模型的公平性：

（1）模型Ⅰ：比例加惯例法

数学建模宿舍人员分配的问题

的结果分别为：3，5，7人。

用Q值法原理里的“相对不公平度”检验一下。即：

对A相对不公平度： rA n1,n2

对B相对不公平度： rB n1,n2 q1 q2pp，q1 1，q2 2； 12q2q2 q1pp，q1 1，q2 2；

12q1

(4) 根据d’Hondt法，我们将A,B,C各宿舍的人数用正整数m=1,3,5,7…相除，其合理性，可以适当运用于实际当中。