ICA

振　动　与　冲　击

第28卷第7期

JOURNALOFVIBRATIONANDSHOCK

Vol.28No.72009　

基于快速独立分量分析的模态振型识别方法研究

张晓丹,姚谦峰,刘　佩

(北京交通大学土木工程建筑学院,北京　100044)

准确地识别出结构的模态参数,特别是结构的振型是结构损伤精确识别与健康监测的重要前提。　　摘　要:快速、大多的模态参数识别时域方法都是从曲线拟合的角度或解算特征值的过程来实现。振型向量通过求解各阶模态的留数

获得,这些方法依赖于模态频率与模态阻尼的识别。本文提出一种模态振型的直接提取方法,该方法基于快速独立分量分析技术,以模态响应之间的独立性构造目标函数,通过优化目标函数寻求振型向量的最优解,直接从结构自由响应或脉冲响应的数据矩阵中提取结构的振型向量。三自由度数值算例表明该方法有效,具有很高的识别精度且对测量噪声具有很好的鲁棒性。

关键词:快速独立分量分析,模态振型识别,鲁棒性中图分类号:TU311　　　文献标识码:A

　　模态参数识别是系统识别的一部分,系统的模态

参数包括模态频率、测点位置无关。数而得,,,因此振型在结构损伤的精确识别和健康监测中具有重要的意义。仅依靠结构输出信息的模态参数识别以其自身的经济性、实用性和可行性等方面的优势,成为模态参数识别发展的必然方向。传统的时域识别方法,如ITD法和Prony法等,都是从线性拟合的角度或解算特征值的过程实现对模态参数的识别。在这些方法中,对于振型的提取均是在模态频率和模态阻尼识别的基础上计算各阶模态的留数获得,其识别精度必然与模态频率与模态阻尼比的识别精度紧密关联,由于大多的模态参数识别时域方法本身对测量噪声相对敏感,需要其它的数据预处理技术配合使用,计算成本相对较高。

独立分量分析(ICA)是信号盲处理(BSP)的一种方法。它在一定的假设条件下,可以从观测的混合数据信号中实现对分离矩阵和独立分量源信号的分离与

[1,2]

提取。根据线性系统的振型叠加理论,应用独立分量分析技术可从结构的自由响应信号或脉冲响应信号中分离出模态振型矩阵与模态坐标响应,从而实现对结构振型的直接提取。本文详细阐述了独立分量分析的基本理论及其应用于模态振型识别的可行性。三自由度数值算例结果表明,该方法对于结构振型的识别

,可以从分离出的独)中识别出结构的模态频率与模态阻尼比。

1　独立分量分析(ICA)的理论基础

111　ICA的问题描述

ICA问题可描述为:设有n个未知源信号si,i=1,2,…,n,构成一个列向量S=[s1,s2,…,sn],混合矩阵

A为m×n维矩阵,X=[x1,x2,…,xm]是观测混合信

T

T

号,满足方程:

X=AS

(1)

(2)

T

其任务是寻找一个分离矩阵W,使得

Y=WX

基金项目:国家自然科学基金(50578011);教育部博士点专项基金

(20050004013)资助项目

收稿日期:2008-07-11　修改稿收到日期:2008-10-17第一作者张晓丹男,博士生,1980年生

要求输出信号yi相互统计独立,则Y=[y1,y2,…,yn]就是未知源信号S的估计值。112　独立分量的基本假定

由于独立的源信号分量与混合矩阵的先验知识未知,若无任何前提假设,问题就会多解,所以需要对源

[4,5]

信号与混合矩阵做以下假设:

(1)利用ICA方法解决盲源分离问题的假设条件之一就是在任何时刻t,源信号s(t)的各分量si(t)之间统计独立。若将si(t)的下标i称为空域维,t称为时间维,则ICA的独立性条件就是源信号s(t)各分量在空域上不相关。

(2)源信号的各分量最多只能有一个高斯分布,这是由于多个高斯信号的线性组合仍服从高斯分布,不可分离。

(3)混合矩阵A列满秩。1.3　独立性判据

独立分量分析算法的关键在于如何度量分离结果

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第7期　　　　　　　　　　　　　张晓丹等:基于快速独立分量分析的模态振型识别方法研究159

的独立性。本文介绍一种基于信息论的负熵判据。

对于概率密度函数为p(y)的随机变量y,一种较

[3]

好的负熵近似为:

2

(3)J(y)=N[E{G(y)}-E{G(yguass)}]

式中:E代表均值运算,N为正常数,G为非线性、非二次的函数,用来估计随机变量的信息熵。yGauss是一个与y具有相同方差的高斯分布随机量。

根据信息理论,具有相同方差的随机变量中,高斯分布的随机变量具有最大的信息熵,即非高斯性越强,信息熵越小。由极限中心定理可知,独立的源信号较之测得的混合信号具有更强的非高斯性,据此,当J(y)达到最大值,即y的非高斯性达到最大时,表明已经完成对各独立分量的分离。1.4　数据预处理

ICA的数据预处理包含去均值与白化两个过程。去均值处理是从观测信号结构体中减去均值向量

(4)P=E{X}对观测数据去均值之后,,,提取过程。过程如下:

(1)计算观测信号结构的协方差矩阵

T

(5)Rx=E[XX]

(2)定义白化矩阵

-1/2T

(6)U=DxVx式中:Vx为Rx的特征向量矩阵,Dx为Rx的特征值

矩阵。

(3)定义白化信号

-1/2T

(7)X=UX=DxVxX

白化信号具有零均值和单位协方差。1.5　估算分离矩阵及提取独立分量

快速独立分量分析(FastICA)算法是一种基于负熵最大化的快速定点ICA算法。该算法通过系统学习

T

找到一个方向,即单元矢量W,使其投影Wx具有最大的非高斯性。每次从观测信号中分离出一个独立分量。这种分离过程是一种迭代逼近过程,首先进行白化处理,去除观测信号(混合信号)中各个分量的相关

(n)(n)

性。假定变量n表示迭代步数,令si是s中的某一

n

分量,W(n)为分离矩阵Wi(n)中与s对应的某一行向量,即:

(n)T

(8)si=Wi(n)3x

在分离过程中,用式(3)定义的目标函数对分离结果(n)

si的非高斯性进行度量,并对Wi(n)进行调整,FastI2CA的调整公式定义为:

T

(Wi(n)x)}Wi(n+1)=E{xG′

T

(Wi(n)x)}Wi(n)(9)-E{G″

()

若相邻两次的Wi(n)无变化或变化很小时,即可认定

si

(n)

=si,则迭代过程结束。上式中的均值运算可通过

对时间平均获得。同时,每次迭代后要对Wi(n)进行归一化处理Wi(n)=Wi(n)/

Wi(n),以确保式(9)

的分离结果具有能量。ICA对于多个独立分量的提取,要每次提取一个独立分量后,从观测信号中减去这个独立分量,直到所有独立分量完全分离。重复迭代可以得到混合矩阵A或分离矩阵W:

W=WU,其中U为式(6)定义的白化矩阵。

2　模态振型的识别与独立分量分析

　　模态参数识别包括提取结构一系列的模态频率、模态阻尼和模态振型。在这些参数中,模态振型以数学向量的形式描述了系统在某一模态频率下的振动形式,。

,n自由度线性系统的:

Mx+Cx+Kx=0

(10)

其中N,C,K分别表示系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚

度矩阵。

对于比例阻尼或小阻尼系统,系统的位移解为:

n

x(t)=

∑<aexp(-ξt)cos(ωt+φ)

i

i

i

i

i

i=1

(11)

ξ模态频率和相位角。i,ωi,φi分别表示模态阻尼比、<i,ai为常数。

式(11)写成矩阵的形式为:

(12)x(t)=ΦQ(t)

Φ为由振型向量<i组成的振型矩阵,Q(t)为模态响应

ωit+φi)组成的向量。模态参数识<iaiexp(-ξit)cos(

别的任务就是从结构的响应输出x(t)中提取振型矩阵Φ和包含在模态响应中的模态频率ωi及模态阻尼比ξi。

对比式(12)与式(1),我们可以看到,时域的模态分析与独立分量分析之间存在着一些相似之处,两者都是从混合信号中估计潜在的组成分量;两者都是仅仅利用结构系统的输出信息。模态响应Q(t)相当于源信号S的一种特例,而且它自动满足独立分量分析对于源信号不相关的假定。独立分量分析主要是从混

-1

合信号中估计分离矩阵W=A,而这其中正包含有振型矩阵的信息,即Φ=A。因此,应用独立分量分析技术提取系统的振型矩阵是完全可行的。

3　数值算例

　　根据文献[7]建立一个三自由度系统的数值算例,以自由响应为研究对象。在实际的工程应用中,可以

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160振动与冲击　　　　　　　　　　　　　　　　　　2009年第28卷

采用随机减量法或NExT法从环境激励输出中获得自由响应或脉冲响应的替代信号进行分析。311　模型描述

集中质量m1=2,m2=1,m3=1,单刚度k1=k2=

k3=1000,采用瑞利阻尼模型,阻尼矩阵为C=αM+

MACi=

(<ii)

T

T2T

(<i<i)(<i<i)

(13)

βK,其中M,K为系统的质量的矩阵和刚度矩阵,α,β为瑞利阻尼模型中的比例系数。本文假定α=0.3,β=0。312　模态置信准则

采用模态置信准则MAC(ModalAssuranceCriteri2on)来度量振型识别的准确性。模态置信系数为:

式中,<i,<i分别为振型的理论值与识别值,0ΦMACΦ1,其值越大,即越接近1,说明识别振型的准确性越高。3.3　识别结果及分析位移初始条件x(0)=[1,0,0],速度初始条件

T

v(t)=[0,0,0],以采样频率200Hz对各个自由度上的位移响应进行采集,取前1000个数据点进行分析。图1为三个自由度的位移响应和三个模态响应。图2为分离出的独立分量时程曲线与其对应的幅频曲线

。

T

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第7期　　　　　　　　　　　　　张晓丹等:基于快速独立分量分析的模态振型识别方法研究161

　　比较图1中模态响应与图2中的独立分量,可以看出两者非常相似,只是排序不一致,而且某些信号的正负符号不同,幅值也有所差别。但是这些不确定性对于模态参数的识别,特别是对振型的提取通常不是重要的。因为从分离出的独立分量中很容易依据模态分析的先验知识确定具体的信号源,可对分离出的独立分量及分离矩阵做进一步处理。所以独立分量的分离及分离矩阵的提取才是至关重要的,是后续分析和参数识别的基础。

从图2中的幅频曲线可以看出,分离出的独立分量仅含有单一的频率成分,这与线性系统的振型叠加理论相符,表明分离是成功。对得到的分离矩阵求逆并调整列元素的顺序,得到结构振型的识别值,表1为本文方法与ITD法识别振型的结果对比。

表1　振型识别结果

　本文方法

ITD法

MAC10.99991.0000

MAC21.00001.0000

MAC30.99980

表3　振型识别结果(αΕ0.5,采样点数500)α值

0.50.60.7

MAC10.99991.00000.9997

MAC21.00000.99991.0000

MAC31.00000.99941.0000

从表3可以看出,当采样点数降至500,即从采样

数据中去除了衰减严重的数据信息,可提高本文算法的稳定性,并取得了较好的识别结果。如何克服阻尼对本文算法的影响及如何对于衰减严重程度的定量分析,成为本文方法进一步完善的重要方向。3.5　对噪声的鲁棒性分析

为考察本文方法对噪声的鲁棒性,按照文献[7],在无噪响应上附加一定比率的白噪声,噪声与无噪响应的比率为0%～30%,表给出了考虑30%噪声的,。从识,,识别I表4　振型识别结果对比(30%噪声)　本文方法

ITD方法

MAC10.98350.6906

MAC20.99940.9860

MAC30.99870.6651

从表1,

ITD法面

,而本文方法给出了近似解,但这种近似是完全可以接受的,本文方法的识别精度是可以得到肯定的。3.4　系统阻尼的影响

由于阻尼的存在,系统的自由振动响应或脉冲响应将随时间逐渐衰减。当采样数据中含有较多衰减严重的数据时,会造成本文方法数值运算的不稳定,致使识别精度降低甚至识别失败,因此本文方法适用于小阻尼系统。为考察系统的阻尼对本文方法的影响,表2列出了α取不同值时的识别结果。(β仍取0)

表2　不同阻尼下的振型识别结果

α值

0.00.10.20.30.40.50.6

MAC11.00001.00001.00000.99990.9999

//

MAC21.00001.00001.00001.00001.0000

//

MAC30.99990.99990.99990.99980.9998

//

图4为应用本文方法识别振型的MAC值随噪声

的变化曲线,当噪声从0%增加到30%的过程中,各阶振型的MAC最小值约为0.94,最大值为1,由此可以看出,振型的识别结果对测量白噪声并不敏感,具有很好的鲁棒性。

从表2可以看出,当αΦ0.4时,本文方法可以保证很好的振型识别精度,但当αΕ0.5时,振型识别失败或者无法得到有意义的结果。这是由于当αΕ0.5时,上述算例中包含有过多相对衰减严重的数据,造成数值运算不稳定甚至不收敛。保持上述算例的其他条件不变,仅把采样点数由原来的1000降至500,αΕ0.5时的识别结果如表3所示。

图4　各阶振型MAC值随噪声变化曲线

4　结　论

　　本文提出一种基于快速独立分量分析的模态振型

提取方法。该方法对于振型的提取不依赖于模态频率

(下转第174页)

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174振动与冲击　　　　　　　　　　　　　　　　　　2009年第28卷

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(上接第146页)

　　(2)均匀流场试验中,未观察到明显的涡激共振

现象;颤振临界风速均高于颤振检验风速;风致位移平均值和标准差非线性随着风速的提高而增强;抖振位移标准差在很多情况下有可能高于平均值。

(3)在均匀和紊流场中,位移峰值因子大多分布在[2.5,4]内,建议可较为安全地取为4;峰值因子与风场、风速、攻角、断面位置、确的对应关系。

(4)+3为4.3cm、8.9cm和0.191°,均在容许范围内。

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(上接第161页)

与模态阻尼比的识别,无需计算各阶模态的留数,可直接从结构的自由响应或脉冲响应中识别结构的振型。数值算例表明,该方法对于结构振型的识别具有很高的精度,对测量白噪声具有很好的鲁棒性。同时,本文方法配合单模态识别方法,可以从分离出的独立分量中进一步识别结构的模态频率和模态阻尼比。经作者对本文算例计算对比,采用文献[6]提出的时域峰值法从独立分量中识别模态频率和模态阻尼比具有很高的精度,但该方法对噪声比较敏感。因此,研究对噪声鲁棒性较好的单模态识别方法是从独立分量中提取模态频率和模态阻尼比的关键。同时,如何克服系统阻尼对本文方法识别精度的影响及如何对采样数据衰减程度定量化是本文方法继续发展和完善的重要课题。

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