名师一号 · 高中同步学习方略 · 新课标A版 · 数学 · 选修2-2

第一章

导数及其应用

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知识结构

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规律方法总结 一、导数的应用 1.导数的概念是本章学习的关键，它不但提供了一般的求导 方法，并且常见函数的导数，函数的和、差、积、商的导数法则 都是用定义得出的.

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2.函数求导的常用方法 (1)定义法：用定义求导的一般步骤： Δy ①求函数的增量Δy=f(x+Δx)-f(x);②求平均变化率 Δx = f x+Δx -f x Δy ;③取极限，得 f ′ (x) = lim . Δx Δx Δx→0 (2)公式法：对于较复杂的函数，在求导前应先对解析式进行 化简或变形，再用公式求导.

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(3)复合函数的求导方法：运用复合函数的求导法则y′x= y′u· u′x,但应注意以下几点： ①利用复合函数求导法则求导后，要把中间变量换成自变量 的函数，层层求导. ②要分清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不能混 淆，计算到最后，如(cos2x)′=-sin2x是错的，正确的是 (cos2x)′=-sin2x· (2x)′=-2sin2x. ③求复合函数的导数，关键是分清楚函数的复合关系，选好 中间变量.河北考源书业有限公司 http://www.77cn.com.cn

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3.求曲线的切线方程 由于函数y=f(x)在x=x0处的导数，表示曲线在点P(x0,f(x0)) 处切线的斜率，因此，曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程 可按如下求得： ①求出函数y=f(x)在点x=x0处的导数，即曲线y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处切线的斜率.

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②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，可得切线方程为 y-y0=f′(x0)(x-x0). 如果曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))的切线

垂直于x轴时，此时导 数不存在，由切线定义可知，切线方程为x=x0.

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4.求函数的单调区间 只需解不等式f′(x)>0(增区间)或f′(x)<0(减区间),最后写单 调区间时要注意，各单调区间中间用“逗号”或用“和”“或” 隔开，千万不能用“∪”连接.

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5.点x0是函数f(x)的极值点，可推出f′(x0)=0,反过来， f′(x0)=0,x0不一定是函数f(x)的极值点，还要判断在x0的左右两 侧f′(x)符号是否相异，如果符号相异，是极值点，如果符号相 同，不是极值点.

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求函数极大(小)值的方法步骤：①确定函数定义区间，求导 数f′(x);②求方程f′(x)=0的根；③用函数的导数为0的点，从 小到大顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格， 检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在 这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极 小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.

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6.求函数最大(小)值的步骤是：①求f(x)在(a,b)内的极值； ②将f(x)的极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的为最大值，最小的为 最小值.在实际问题中，如果函数在定义域内只有一点使得f′(x) =0,此时，函数在此点有极大(小)值，那么不与端点比较，也可 以知道这就是最大(小)值.

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二、定积分的应用 1.利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积函数的 原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导函数是互逆运 算，因此应注意掌握常见函数的导数；此外，如果被积函数是绝 对值函数或分段函数，那么可以利用定积分的性质 b a

f(x)dx=

c a

b f(x)dx+ f(x)dx,根据函数的定义域，将积分区间分为几部分，代 c

入相应的解析式，分别求出积分值，相加即可.

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2.求平面图形的面积是定积分的最重要的应用之一，其基本 步骤是： ①根据题意画出图形； ②找出变量的取值范围，定出积分上、下限； ③确定被积函数； ④写出相应的定积分表达式； ⑤用微积分基本定理计算定积分，求得结果.

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3.做变速直线运动的物体所经过的路程S,等于其速度函数vb =v(t)(v(t)≥0)在时间[a,b]上的定积分，即S= v(t)dt. a

4.如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着 与F(x)相同的方向从x=a到x=b(a<b),那么变力F(x)所做的功W= b a

F(x)dx.

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数学思想方法 1.函数与方程的思想 函数的思想是用运动变化的观点，提出问题的数学特征，建 立各变量之间固有的函数关系，利用函数的性质，使问题得到解 决.方程的思想，就是分析各变量之间的等量关系，建立方程组 或构造方程，通过解方程或方程组或用方程的性质去分析转化问 题，使问题得到解决.

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