量子力学试题(2008年)含答案

郑州大学 量子力学试题

2008 2009郑州大学物理工程学院电子科学与技术专业

光电子方向量子力学试题（A卷）

（说明：考试时间120分钟，共6页，满分100分）

计分人： 复查人：

一、填空题：（每题 4 分，共 40 分）

1. 微观粒子具有 波粒 二象性。

2．德布罗意关系是粒子能量E、动量P与频率 、波长 之间的关系，其表达式为：

E=h , p=h/ 。

3．根据波函数的统计解释，(x,t)dx

4．量子力学中力学量用

5．坐标的x分量算符和动量的x分量算符px的对易关系为： x,p i 。

6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数 (x)所描写的状态时，测量某力学量

2

的 本征值 。 F所得的数值，必定是算符F

7．定态波函数的形式为： (x,t) n(x)e

i

Ent 。

8．一个力学量A9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。

S10．每个电子具有自旋角动量，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 。

2

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二、证明题：（每题10分，共20分）

1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：

,L ] i L [Lxyz

证明：

,L ] [yp z zp y,zp x xp z][Lxy

z,zp x xp z] [zp y,zp x xp z] [yp

z,zp x] [yp z,xp z] [zp y,zp x] [zp y,xp z] [yp

z,zp x] [zp y,xp z] [yp

z,zp x] [y,zp x]p z z[p y,xp z] [z,xp z]p y y[p

z,zp x] [z,xp z]p y y[p

z,p x] y[p z,z]p x x[z,p z]p y [z,x]p zp y yz[p

x x(i )p y y( i )p

y yp x] i [xp

i Lz

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2、（10分）由Schrödinger 方程

22

i (r,t) [ V(r)] (r,t) t2

证明几率守恒： J 0

t

其中几率密度 ( r , t ) ( r , t ) ( r , t ) | ( r , t ) | 几率流密度 J

2

i

[ ]2

证明：考虑 Schrödinger 方程及其共轭式：

22i [ V] t2 22 i [ V]

t2

(1)(2)

将 (1) (2)式得：

2

i i [ 2 2 ]

t t2

2

i ） [ ] t2

在空间闭区域τ中将上式积分，则有：

d 2

i （ ）d dt 2 di （ ）d dt 2

[ ]d

[ ]d

d

(r,t)d Jd dt

J 0 t

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三、计算题：（共40分）

1、（10分）设氢原子处于状态

(r, , )

1R21(r)Y10( , ) R21(r)Y1 1( , ) 22求氢原子能量E、角动量平方L2、角动量Z分量LZ的可能值及这些可能值出现的几率。

解：在此状态中，氢原子能量有确定值 2

2

E es es2

2 2

n

2

8

2

角动量平方有确定值为

L2 ( 1) 2 2 2 角动量Z分量的可能值为 LZ1 0LZ2 其相应的几率分别为

14， 34

(n 2)，几率为1

( 1)，几率为1

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i d 的本征值和本征函数。 L2、（10分）求角动量z分量z

d

( ) i d ( ) l ( )解： Lzz

d

il

z

解得： ( ) ce

其中c是积分常数，亦可看成

归一化系数。

波函数单值条件，要求当φ 转过 2π角回到原位时波函数值相等，即： () ( 2)

l l( 2 )

z z

l2

z

2 lz

于是 2 mm 0, 1, 2,

lz m m 0, 1, 2,

求归一化系数

2

| |2d 0

2 2

cd

2 c2 1

1

c

2

最后，得 Lz的本征函数

ce ce

e 1

lz m

m( )

1im

e2

m 0, 1, 2,

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3、（20分）某量子体系Hamilton量的矩阵形式为： 1

H c

0

设c << 1，应用微扰论求H本征值到二级近似。

解：c << 1，可取 0 级和微扰 Hamilton 量分别为：

0

30 0c 2

c

100 0c0

H0 030 H c00

00 2 00c

H0 是对角矩阵，是Hamilton H0在自身表象中的形式。所以能量的 0 级近似为：

E1 = 1 E2E3

(0)

(0)

= 3 = -2

(0)

由非简并微扰公式

(1) En Hnn

|2 (2)|Hkn

En (0)(0)

E Ek nnk

得能量一级修正：

E1(1) H11 0

(1)

0 E2 H22

(1)

c E3 H33

能量二级修正为： 222

|H||H||H|(2)k1312112 E1 c(0)(0)(0)(0)(0)(0)

E1 E2E1 E3k nE1 Ek

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2|2 |2 |2|Hk|H32|H12(2)2

E 22c(0)(0)(0)(0)(0)(0) E2 E1E2 E3k nE2 Ek

222

|H||H||H|(2)k31323 E3 (0) (0) 0(0)(0)(0)(0)

E3 E1E3 E2k nE3 Ek

二级近似下能量本征值为：

2

12

2

22

3

E 1 c

E 3 c E 2 c