最新数学(理)一轮教学案:第九章第1讲 直线的方程和两条直线的位置关系 Wor

时间:2025-07-10

第九章 直线和圆的方程

第1讲 直线的方程和两条直线的位置关系

考纲展示 命题探究

考点一 直线及其方程

1 表示直线方向的两个量

(1)直线的倾斜角

①定义:在平面直角坐标系中,当直线l 与x 轴相交时(取x 轴作为基准),x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角.

②范围:当直线l 与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角α为0°,故直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.

(2)直线的斜率

①定义:当α≠90°时,tan α表示直线l 的斜率,用k 表示,即k =tan α;当α=90°时,直线l 的斜率k 不存在.

②计算公式:给定两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2),经过P 1,

P 2两点的直线的斜率公式为k =y 2-y 1x 2-x 1

. 2 直线方程的形式及适用条件

注意点对直线的倾斜角和斜率的理解

每条直线都有唯一的倾斜角,但并不是每条直线都存在斜率;倾斜角和斜率都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度.在设直线的斜率为k时,就是默认了直线的斜率存在.注意检验当斜率不存在时是否符合题意.

1.思维辨析

(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.()

(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.()

(3)在平面直角坐标系下,任何直线都有点斜式方程.()

(4)任何直线方程都能写成一般形式.()

答案(1)√(2)×(3)×(4)√

2.如图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3,则()

A.k1<k2<k3

B.k3<k1<k2

C.k3<k2<k1

D.k1<k3<k2

答案 D

解析直线l1的倾斜角α1是钝角,故k1<0,直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角,且α2>α3,所以0<k3<k2,因此k1<k3<k2,故选D.

3.过点M(1,-2)的直线与x轴、y轴分别交于P、Q两点,若M恰为线段PQ的中点,则直线PQ的方程为()

A.2x+y=0 B.2x-y-4=0

C.x+2y+3=0 D.x-2y-5=0

答案 B

解析设P(x0,0),Q(0,y0),∵M(1,-2)为线段PQ中点,∴x0

=2,y0=-4,∴直线PQ的方程为x

2+

y

-4

=1.

即2x-y-4=0.

[考法综述]高考中对直线方程的考查,一种常见方式是求

曲线的切线方程,也可能与其他知识(如圆锥曲线、圆)综合考查,难度中低档.求直线方程的一种重要方法就是先设直线方程,再求直线方程中的系数,这种方法叫做待定系数法.运用此方法,要注意各种形式的方程的适用条件,选择适当的直线方程的形式至关重要.

命题法 求直线的斜率、倾斜角及方程

典例 (1)直线x sin α-y +1=0的倾斜角的变化范围是( )

A.⎝ ⎛⎭

⎪⎫0,π2 B .(0,π) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4,π4 D.⎣

⎢⎡⎦⎥⎤0,π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4,π (2)根据所给条件求直线的方程.

①直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为1010;

②直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12;

③直线过点(5,10),且到原点的距离为5.

[解析] (1)直线x sin α-y +1=0的斜率是k =sin α,

又∵-1≤sin α≤1,∴-1≤k ≤1,

当0≤k ≤1时,倾斜角的范围是⎣

⎢⎡⎦⎥⎤0,π4; 当-1≤k <0时,倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎭

⎪⎫3π4,π. (2)①由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式.

设倾斜角为α,则sin α=1010(0<α<π),

k =tan α=±13.故所求直线方程为y =±13(x +4).

即x +3y +4=0或x -3y +4=0.

②由题设知截距不为0,设直线方程为x a +y 12-a

=1, 又直线过点(-3,4),

从而-3a +412-a =1,解得a =-4或a =9.

故所求直线方程为4x -y +16=0或x +3y -9=0.

③当斜率不存在时,所求直线方程为x -5=0,符合题意;当斜率存在时,设斜率为k ,

则所求直线方程为y -10=k (x -5),

即kx -y +(10-5k )=0. 由点到直线的距离公式,得|10-5k |k 2+1

=5,解得k =34. 故所求直线方程为3x -4y +25=0.

综上知,所求直线方程为x -5=0或3x -4y +25=0.

[答案] (1)D (2)见解析

【解题法】 直线的倾斜角、斜率、方程的求法

(1)求倾斜角α的取值范围的一般步骤

①求出斜率k =tan α的取值范围.

②利用正切函数的单调性,借助图象,数形结合,确定倾斜角α的取值范围.

(2)求斜率的常用方法

①已知直线上两点时,由斜率公式k =y 2-y 1x 2-x 1(x 1≠x 2

)来求斜率. ②已知倾斜角α或α的三角函数值时,由k =tan α(α≠90°)来求斜率.

③方程为Ax +By +C =0(B ≠0)的直线的斜率为k =-A B .

(3)求直线方程的两种方法

①直接法:根据已知条件,选择适当的直线方程形式,直接写出直线方程,选择时,应注意各种形式的方程的适用范围,必要时要分类讨论.

②待定系数法,具体步骤为:

a .设所求直线方程的某种形式.

b .由条件建立所求参数的方程(组).

c .解这个方程(组)求出参数.

d .把参数的值代入所设直线方程.

1.已知点A (1,3),B (-2,-1).若直线l :y =k (x -2)+1与线段AB 相交,则k 的取值范围是( )

A .k ≥12

B .k ≤-2

C .k ≥12或k ≤-2

D .-2≤k ≤12

答案 D

解析 由已知 …… 此处隐藏:5996字,全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……

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