最新数学(理)一轮教学案：第九章第1讲 直线的方程和两条直线的位置关系 Wor

第九章 直线和圆的方程

第1讲 直线的方程和两条直线的位置关系

考纲展示 命题探究

考点一 直线及其方程

1 表示直线方向的两个量

(1)直线的倾斜角

①定义：在平面直角坐标系中，当直线l 与x 轴相交时(取x 轴作为基准)，x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角．

②范围：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角α为0°，故直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.

(2)直线的斜率

①定义：当α≠90°时，tan α表示直线l 的斜率，用k 表示，即k ＝tan α；当α＝90°时，直线l 的斜率k 不存在．

②计算公式：给定两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)，经过P 1，

P 2两点的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1

. 2 直线方程的形式及适用条件

注意点对直线的倾斜角和斜率的理解

每条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率；倾斜角和斜率都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度．在设直线的斜率为k时，就是默认了直线的斜率存在．注意检验当斜率不存在时是否符合题意.

1．思维辨析

(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．()

(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．()

(3)在平面直角坐标系下，任何直线都有点斜式方程．()

(4)任何直线方程都能写成一般形式．()

答案(1)√(2)×(3)×(4)√

2．如图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则()

A．k1<k2<k3

B．k3<k1<k2

C．k3<k2<k1

D．k1<k3<k2

答案 D

解析直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1<0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以0<k3<k2，因此k1<k3<k2，故选D.

3．过点M(1，－2)的直线与x轴、y轴分别交于P、Q两点，若M恰为线段PQ的中点，则直线PQ的方程为()

A．2x＋y＝0 B．2x－y－4＝0

C．x＋2y＋3＝0 D．x－2y－5＝0

答案 B

解析设P(x0,0)，Q(0，y0)，∵M(1，－2)为线段PQ中点，∴x0

＝2，y0＝－4，∴直线PQ的方程为x

2＋

y

－4

＝1.

即2x－y－4＝0.

[考法综述]高考中对直线方程的考查，一种常见方式是求

曲线的切线方程，也可能与其他知识(如圆锥曲线、圆)综合考查，难度中低档．求直线方程的一种重要方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫做待定系数法．运用此方法，要注意各种形式的方程的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要．

命题法 求直线的斜率、倾斜角及方程

典例 (1)直线x sin α－y ＋1＝0的倾斜角的变化范围是( )

A.⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，π2 B ．(0，π) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4 D.⎣

⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π (2)根据所给条件求直线的方程．

①直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010；

②直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；

③直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.

[解析] (1)直线x sin α－y ＋1＝0的斜率是k ＝sin α，

又∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k ≤1，

当0≤k ≤1时，倾斜角的范围是⎣

⎢⎡⎦⎥⎤0，π4； 当－1≤k ＜0时，倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎭

⎪⎫3π4，π. (2)①由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．

设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)，

k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)．

即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.

②由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y 12－a

＝1， 又直线过点(－3,4)，

从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.

故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.

③当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0，符合题意；当斜率存在时，设斜率为k ，

则所求直线方程为y －10＝k (x －5)，

即kx －y ＋(10－5k )＝0. 由点到直线的距离公式，得|10－5k |k 2＋1

＝5，解得k ＝34. 故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.

综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.

[答案] (1)D (2)见解析

【解题法】 直线的倾斜角、斜率、方程的求法

(1)求倾斜角α的取值范围的一般步骤

①求出斜率k ＝tan α的取值范围．

②利用正切函数的单调性，借助图象，数形结合，确定倾斜角α的取值范围．

(2)求斜率的常用方法

①已知直线上两点时，由斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2

)来求斜率． ②已知倾斜角α或α的三角函数值时，由k ＝tan α(α≠90°)来求斜率．

③方程为Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的直线的斜率为k ＝－A B .

(3)求直线方程的两种方法

①直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论．

②待定系数法，具体步骤为：

a ．设所求直线方程的某种形式．

b ．由条件建立所求参数的方程(组)．

c ．解这个方程(组)求出参数．

d ．把参数的值代入所设直线方程．

1.已知点A (1,3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是( )

A ．k ≥12

B ．k ≤－2

C ．k ≥12或k ≤－2

D ．－2≤k ≤12

答案 D

解析 由已知 …… 此处隐藏：5996字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……