最新数学(理)一轮教学案:第九章第1讲 直线的方程和两条直线的位置关系 Wor
时间:2025-07-10
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第九章 直线和圆的方程
第1讲 直线的方程和两条直线的位置关系
考纲展示 命题探究
考点一 直线及其方程
1 表示直线方向的两个量
(1)直线的倾斜角
①定义:在平面直角坐标系中,当直线l 与x 轴相交时(取x 轴作为基准),x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角.
②范围:当直线l 与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角α为0°,故直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
(2)直线的斜率
①定义:当α≠90°时,tan α表示直线l 的斜率,用k 表示,即k =tan α;当α=90°时,直线l 的斜率k 不存在.
②计算公式:给定两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2),经过P 1,
P 2两点的直线的斜率公式为k =y 2-y 1x 2-x 1
. 2 直线方程的形式及适用条件
注意点对直线的倾斜角和斜率的理解
每条直线都有唯一的倾斜角,但并不是每条直线都存在斜率;倾斜角和斜率都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度.在设直线的斜率为k时,就是默认了直线的斜率存在.注意检验当斜率不存在时是否符合题意.
1.思维辨析
(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.()
(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.()
(3)在平面直角坐标系下,任何直线都有点斜式方程.()
(4)任何直线方程都能写成一般形式.()
答案(1)√(2)×(3)×(4)√
2.如图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3,则()
A.k1<k2<k3
B.k3<k1<k2
C.k3<k2<k1
D.k1<k3<k2
答案 D
解析直线l1的倾斜角α1是钝角,故k1<0,直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角,且α2>α3,所以0<k3<k2,因此k1<k3<k2,故选D.
3.过点M(1,-2)的直线与x轴、y轴分别交于P、Q两点,若M恰为线段PQ的中点,则直线PQ的方程为()
A.2x+y=0 B.2x-y-4=0
C.x+2y+3=0 D.x-2y-5=0
答案 B
解析设P(x0,0),Q(0,y0),∵M(1,-2)为线段PQ中点,∴x0
=2,y0=-4,∴直线PQ的方程为x
2+
y
-4
=1.
即2x-y-4=0.
[考法综述]高考中对直线方程的考查,一种常见方式是求
曲线的切线方程,也可能与其他知识(如圆锥曲线、圆)综合考查,难度中低档.求直线方程的一种重要方法就是先设直线方程,再求直线方程中的系数,这种方法叫做待定系数法.运用此方法,要注意各种形式的方程的适用条件,选择适当的直线方程的形式至关重要.
命题法 求直线的斜率、倾斜角及方程
典例 (1)直线x sin α-y +1=0的倾斜角的变化范围是( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0,π2 B .(0,π) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4,π4 D.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0,π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4,π (2)根据所给条件求直线的方程.
①直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为1010;
②直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12;
③直线过点(5,10),且到原点的距离为5.
[解析] (1)直线x sin α-y +1=0的斜率是k =sin α,
又∵-1≤sin α≤1,∴-1≤k ≤1,
当0≤k ≤1时,倾斜角的范围是⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0,π4; 当-1≤k <0时,倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫3π4,π. (2)①由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式.
设倾斜角为α,则sin α=1010(0<α<π),
k =tan α=±13.故所求直线方程为y =±13(x +4).
即x +3y +4=0或x -3y +4=0.
②由题设知截距不为0,设直线方程为x a +y 12-a
=1, 又直线过点(-3,4),
从而-3a +412-a =1,解得a =-4或a =9.
故所求直线方程为4x -y +16=0或x +3y -9=0.
③当斜率不存在时,所求直线方程为x -5=0,符合题意;当斜率存在时,设斜率为k ,
则所求直线方程为y -10=k (x -5),
即kx -y +(10-5k )=0. 由点到直线的距离公式,得|10-5k |k 2+1
=5,解得k =34. 故所求直线方程为3x -4y +25=0.
综上知,所求直线方程为x -5=0或3x -4y +25=0.
[答案] (1)D (2)见解析
【解题法】 直线的倾斜角、斜率、方程的求法
(1)求倾斜角α的取值范围的一般步骤
①求出斜率k =tan α的取值范围.
②利用正切函数的单调性,借助图象,数形结合,确定倾斜角α的取值范围.
(2)求斜率的常用方法
①已知直线上两点时,由斜率公式k =y 2-y 1x 2-x 1(x 1≠x 2
)来求斜率. ②已知倾斜角α或α的三角函数值时,由k =tan α(α≠90°)来求斜率.
③方程为Ax +By +C =0(B ≠0)的直线的斜率为k =-A B .
(3)求直线方程的两种方法
①直接法:根据已知条件,选择适当的直线方程形式,直接写出直线方程,选择时,应注意各种形式的方程的适用范围,必要时要分类讨论.
②待定系数法,具体步骤为:
a .设所求直线方程的某种形式.
b .由条件建立所求参数的方程(组).
c .解这个方程(组)求出参数.
d .把参数的值代入所设直线方程.
1.已知点A (1,3),B (-2,-1).若直线l :y =k (x -2)+1与线段AB 相交,则k 的取值范围是( )
A .k ≥12
B .k ≤-2
C .k ≥12或k ≤-2
D .-2≤k ≤12
答案 D