【智博教育原创专题】圆锥曲线的定值、最值与定点问题解题策略

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探讨圆锥曲线的定值、最值与定点问题

圆锥曲线中的最值与定值问题，是解析几何中的综合问题，是一种典型题型，将函数与解析融为一体，要求有较强的综合能力，例析如下： 【题型1】定值问题

解决定值问题的方法：将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式的值与参数无关． 【例1】A,B是抛物线y2 2px(p 0)上的两点，且OA OB，求证：

⑴A,B两点的横坐标之积，纵坐标之积分别都是定值；⑵直线AB经过一个定点。 【证明】⑴设A(x1,y1),B(x2,y2)，则

y12 2px1,y22 2px2, y12 y22 2px1 2px2 4p2x1x2 4p2y1y2 y1y2 4p2为定值，x1x2 y1y2 4p2也为定值；

⑵ y22 y12 (y2 y1)(y2 y1) 2p(x1 x2), x1 x2,

y2 y12p

, 直线AB的方程为：

x2 x1y1 y2

y122p2p4p22p

y x y1 x (x 2p), 直线AB过定点(2p,0)。

y1 y2y1 y2y1 y2y1 y2y1 y2

1

【例2】已知抛物线方程为y x2 h，点A,B及点P(2,4)都在抛物线上，直线PA与PB的倾斜

2

角互补。

⑴试证明直线AB的斜率为定值；

⑵当直线AB的纵截距为m(m 0)时，求 PAB的面积的最大值。

【分析】这类问题一般运算量大，要注意函数与方程、数形结合、分类讨论等思想方法的灵活运用。

1

【解析】⑴证明：把P(2,4)代入y x2 h，得h 6，所以抛物线方程为：y 4 k(x 2)，由

2

4k 4 y 4 k(x 2)x 2k 2 A2

，消去，得，所以，因为PA与PB的x 2kx 4k 4 02y 12

y x 6 y 2k2 4k 4 2 A xB 2k 2倾角互补，所以kPB kPA k，用 k代k，得 ，所以2

y 2k 4k 4 B

yB yA 2k2 4k 48kkAB 2。

xA xB2k 2 ( 2k 2)4k

y 2x m

⑵设AB的方程为y 2x m，由 ，消去y得：x2 4x 2m 12 0，令12

y x 6 2

16 4(2m 12) 0，解得0 m 8，

AB 5[(x1 x2)2 4x1x2] 5[42 4(2m 12)] 40(8 m)，点P到AB

的距离

2

d

，所以，S

2 PAB

11m222

AB d 40(8 m) 2m2(8 m) 445

116118384m 8 m，即m 时，等 8(m)(m)(8 m) 8 ()

3，于是，S PAB 223323

号成立，故

PAB面积最大值为。

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二、最值问题

解决最值的方法：一是代数法，建立目标函数，转化为函数的最值问题，注意到自变量的范围；二是几何法，考虑某些量的几何特征及意义，利用图形性质求解。