【数学】4.3.1 平面图形的面积 课件(北师大版选修2-2)

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第四章 定积分 4.3.1 平面图形的面积

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复习回顾

定积分的几何意义

（1）当f(x) ≥0时， a f ( x)dx 表示的是y=f(x) 与x=a, x=b和x轴所围曲边梯形的面积。 （2）当f(x) ＜0时，y=f(x)与x=a, y=b和x轴 所围曲边梯形的面积为 | f ( x)dx | f ( x)dx

a a b b

b

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例题分析

例1.求如图所示阴影部分图形的面积。

分析：图形中阴影部分的面积由两个部分组成； y

一部分是x轴上方的图形的面 积（记为s1）;

另一部分是x轴下方图形的面 积（记为s2）. 根据图像的性质： s1 =s2.

-∏

y=sin x

1

o

-1

∏

x

s1 sin xdx cos x |

0

0

(cos cos 0) 2.

所以，所求阴影部分的面积是4..

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思考：

求如下图形中阴影部分面积

y=sin x

o

2

5 4

s sin xdx (

2

5 4

4 2 sin xdx) 2

1

2 例2.求抛物线y=x 与直线y=2x所围成平面 图形的面积。

解 :

画出抛物线y= 如图所示。 求出曲线y= 与直线y=2x的交点为（0， 0）和（2，4）。 设所求图形的面积为S，根据图像可以看 出S等于直线y=2x，x=2以及x轴所围成 平面图形的面积（设为S1）减去抛物线 2 y= ，直线x=2以及x轴所围成的图形 o 2

x

2

2 与直线y=2x所围成的平面图形，

y

x

4

x

x

的面积（设为S2）。

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∵ s1

2 xdx x | 2 0 4 0 0

2 2 2

2

2

s2

2

0

1 3 2 1 3 3 8 x dx x | (2 0 ) 0 3 3 3

2

8 4 s s1 s2 4 3 3

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小结：

求平面图形的面积的一般步骤 （1）根据题意画出图形；

（2）找出范围，确定积分上、下限；

（3）确定被积函数； （4）写出相应的定积分表达式；

（5）用微积分基本定理计算定积分，求出结果。

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抽象概括：

一般地，设由曲线y=f(x)，y=g(x)以及直线x=a，y=b所围成

的平面图形（如图1）的面积S，则

y

s

y=f(x)

b

a

f ( x) dx g ( x) dx.

y

a

b

y

s

y=g(x) o a 图1 b x o a

y=f(x) s b y=g(x) 图2 x

y=f(x)

o

a

s y=g(x) b

图3

x

想一想：上图中（2）、（3）满足上面的公式吗？

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例3.求曲线x= 的面积。

y 和直线y=x-2所围成的图形 y

y=x-2 2

2

解：阴影部分面积 S=S1+S2. S1由y= x ，y= - x ， x=1围成： S2由y= x ，y= x-2 ， x=1围成：

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s1

o

-1

s2

1 2 4 x

-2

x=1

x=

y

2

1

s1 [ x ( x )]dx,

0

1

s2 [ x ( x 2)]dx,

1

4

s 2 xdx ( x x 2)dx.

0 1

1

4

9 2

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练习 1 计算由两条抛物线 y x 和 y x 所围成

2 2

的图形的面积.

y x x 0及x 1 解 2 y x 两曲线的交点 O(0,0) B(1,1)

y x

C

D

y2

B

2

y x

A

S S曲梯形OABC - S曲梯形OABD

1 0

1

o

x

xdx x dx

1 2 0

2

3 1

1 2 3 x S ( x - x )dx x 2 . 0 3 0 3 3

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练习 2: 计算由

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1

1