2014年浙江省高中数学竞赛试题

2014年浙江省高中数学竞赛试题

一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后

的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）

1．已知集合P={1,|a|}，Q={2,b2}为全集U={1,2,3,a2+b2+a+b}的子集，且CU{P∪Q}={6}，则下面结论正确的是（ ）

A．a=3,b=1

B．a=3,b=-1

C．a=-3,b=1 D．a=-3,b=-1

2．已知复数z1, z2，且|z1|=2,|z2|=2，|z1+z2

|=|z1-z2|的值为（ ）

A

B

C．3

D

3．已知∠A, ∠B, ∠C为△ABC的三个内角，命题P：∠A =∠B；命题Q：sin∠A =sin∠B，则﹁P是﹁Q 的（ ）

A．充分非必要条件 C．充分必要条件

B．必要非充分条件

D．既非充分又非必要条件

2014

4．已知等比数列{an}：a1=5,a4=625，则

1

=（ ） k 1log5aklog5ak 1

C．

A．

2014

2015

B．

2013

20142012

4028

D．

2013

4030

5．已知圆(x+2)2+(y-1)2=1与圆x2+(y+1)2=1关于直线l对称，则l的方程为（ ）

A．x+y+1=0 C．x-y-1=0

B．x-y+1=0 D．x+y-1=0

2

正视图

2 俯视图

侧视图

6．若某立体的三视图如下，则该立体的体积为（ ）

A．1 B．2 C

． D．

9

2 3

1

7．若x∈R+，则 x3 1 4 展开式中常数项为（ ）

x A．-1259 B．-1260 C．-1511 D．-1512

8．设[x]表示不超过x的最大整数，则方程3x2-10[x]+3=0的所有实数根的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3

9．若a∈R+，b∈R，且max min{2x+4, ax2+b, 5-3x}=2，则a+b的值为（ ）

x R

A．-1 B．1 C．2 D．3

10．已知函数f(x)=cos(asinx)-sin(bcosx)无零点，则a2+b2的取值范围为（ ）

A．[0,) B．[0,) C．[0,) D．[0,)

4224

二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分） 11．设实数x,y满足方程(x+2)2+y2=1，则

2 2

y

的最大值为_________． x

12．若平面上四点A,B,C,D，满足任意三点不共线，且4AC 2AB AD，则

S ABD

=___． S ABC

13．如图，ABCD-A1B1C1D1为正四棱柱．已知AB1与底面A1B1C1D1所成角的正切值为a，

则二面角A-B1D1-A1的正切值为

2014

14．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R，有f(x+2)= f(x)+2，则

f(k)=____．

k 1

15．设P是椭圆2x2+3y2=1上的一点，F1,F2是该椭圆的两个焦点，且∠F1PF2=的面积为__________．

16．设f(x)是定义在R上的函数，满足|f(x)+cos2x|

，则△F1PF26

31

, |f(x)-sin2x| , 则函数44

f(x)=___________．

17．有一快递公司承担某地区13个城市之间的快递业务，如果每个快递员最多只能承接4

个城市之间的快递业务，要使每两个城市之间至少有1名快递员，那么此快递公司最少需要__________名快递员． 三、解答题（每题17分，共51分）

18．已知b,c∈R，二次函数f(x)= x2+bx+c在(0,1)上与x轴有两个不同的交点，求c2+(1+b)c

的取值范围．

19．已知A为抛物线y2=2x上的动点，顶点B的坐标为(2,0)，以AB为直径作圆C，若圆C

截直线l：x+ky-

3

=0所得的弦长为定值，求此弦长和实数k的值． 2

20．设数列{an}定义为a1=a,an+1=1+

1

，n≥1，

a1 a2 an 1

求所有实数a，使得0<a1<1，n≥2．

四、附加题（本大题共有2小题，每题25分，共50分）

21．在1~100的100个整数中，任意选取三个互不相同的数组成有序三元数 (x,y,z)．

求满足方程x+y=3z+10的(x,y,z)的个数．

a2 b2 3 22

22．设正实数a,b,c

满足 a b ac 4，求a,b,c的值．

22

b c 7