中国地质大学高等数学A1期末试卷A

中国地质大学高等数学A1期末试卷(A卷)参考答案与评分标准

考试日期：2012年7月 1日

一．填空（每小题4分，共20分）： 3 2

2. arcsinx 1.

3. 1, -1

4．(2xlnxlnx2x )dx 4x1 x

5. 2010!

二．单项选择题（每小题4分，共20分）：

ACBCC

三．解答下列各题（每小题6分，共60分）：

1

112xsin22xx lim（1）解：lim-------------------------------1分 x 0ln(x 01 x)xx2sin

limxsinx 01 0---------------------------------------------1分 2x

lim(1 x 0lim(x 03 e)2 xx1sinx1 x e)2 xx1sinx e1 x ex

x 0(2 x)sinxlim-----------------2分

e

所以，原式 0

2

（1）解：1 x exx 0(2 x)xlim e 1 exx 02 2xlim 1------------------------2分 e11 ------------------------------------------1分 ee /4

0 /4xsinx2dx xtanxsecxdx 3 0cosx

= /4

0xtanxdtanx 1 /42xdtanx 02

=/41 /421xtan2x tanxdx 0220

=

8 /4 1 /4 12(secx 1)dx tanx 002828

1 2=

4

dxd(1 e x) x ln(1 e) c （3） x x 1 e1 e

11,需xk为无穷小 k 0 4. 连续: limx 0为有界量x 0xxk

xk可导: x 01 A1为有界量,需xk 1为无穷小 k 1 xx

k 1(kx导函数连续: limx 011k 2 xcos) 0需xk 2为无穷小 k 2 xx

t 1 2t2dy5. 解：t 1 1dx1 1 t22t2 t2t 1 2（3分） 3

d2y

dx2

2(2 t2)(1 t2)t 1 (2 t2)3t 1 4（4分） 27

7. 写出函数f(x) lnx在x 1处的带有Lagrange余项的3阶Taylor公式. 解lnx x 1 111(x 1)2 (x 1)3 (x 1)4，0 1 4234(1 (x 1))

f(b) f(a) f'( ) b a8. 证：Lagrange:

2ln2b ln2a2ln 令f(x) lnx, b a

令 (t) lnt1 lntln 22, '(t) 0 ( ) (e) t t2e2

4(b a) （关键：构造函数） e2ln2b ln2a

9. （1）证明：令F(x) f(x) x，则F(x) C[0,1],F(1) 1 0,F(1/2) 1/2 0

故 (1/2,1)，使得F( ) f( ) 0，即f( )

（2）证明：设G(x) e xF(x) e x(f(x) x)，则

G(x) C[0, ],G(x) D(0, )，G(0) 0,G( ) e F( ) 0

由罗尔定理： (0, ),使G ( ) 0，即

e f ( ) [f( ) ] 1 0

即 f ( ) [f( ) ] 1

10. 设f(x)在[0，1]连续，在（0，1）上f(x) 0，且xf'(x) f(x) x=1,y=0所围面积S=2。求f(x)，且a=?时S绕x轴旋转体积最小。 1df(x)3a3a2() f(x) x cx f(x)dx 2 c 4 a 0dxx22

13a2x (4 1)x V' ( y2dx)' 0 a 5 f(x) 023a2x，又f(x)与2解：