解的存在唯一性定理与逐步逼近法

第三章 一阶微分方程的解的存在定理

解的存在唯一性定理与逐步逼近法

解的存在唯一性定理与逐步逼近法

需解决的问题 dy = f ( x, y ) 0 1 初值问题 dx ,的解是否存在 ? y ( x0 ) = y0 dy = f ( x, y ) 0 2 若初值问题 dx ,的解是存在, 是否唯一 ? y ( x0 ) = y0

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§3.1 解的存在唯一性定理与 逐步逼近法

解的存在唯一性定理与逐步逼近法

一 存在唯一性定理1 定理1 考虑初值问题

dy = f ( x, y ) , (3.1) dx y ( x0 ) = y0 其中f ( x, y )在矩形区域R : x x0 ≤ a, y y0 ≤ b, (3.2)上连续, 并 对 满 Lipschitz条 : 且 y 足 件

即 在 > 0,使 所 (x, y1), (x, y2)∈R常 立 存 L 对 有 成 f (x, y1) f (x, y2) ≤ L y1 y2

则初值问题 (3.1)在区间 x x0 ≤ h上的解存在且唯一 ,b 这里h = min(a, ), M = Max f ( x, y ) ( x , y )∈R M

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证明思路 (1) 初值问题(3.1)的解等价于积分方程

y = y0 + ∫ f (t, y)dtx0

x

(3.5)

的连续解.

(2) 构造(3.5)近似解函数列 { n (x)}任取一连续函数 0 ( x), 0 ( x) y0 ≤ b, 代入(3.5) 右侧的y, 得

1 ( x) = y0 + ∫ f (ξ , 0 (ξ ))dξx0

x

若 1 ( x) = 0 ( x), 则 0 ( x)为解, 否则将 1 ( x)代入(3.5) 右侧的y, 得

2 ( x) = y0 + ∫ f (ξ , 1 (ξ ))dξx0

x

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若 2 ( x) = 1 ( x), 则 1 ( x)为解, 否则将 2 ( x)代入(3.5) 右侧的y, LL

n+1(x) = y0 + ∫ f (ξ, n (ξ))dξ,x0

x

这里要求 n ( x) y0 ≤ b,

若 n +1 ( x) = n ( x), 则 n ( x)为解,否则一直下去可得函数列{ n ( x)}(逐步求(3.5)的解,逐步逼近法)

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(3) 函 序 { n (x)}在x0 h, x0 +h]上 致 敛 (x). 数 列 [ 一 收 于这是为了

lim n +1 ( x) = y0 + lim ∫ f (ξ , n (ξ ))d ξn →∞

x

= y0 + ∫ lim f (ξ , n (ξ ))d ξx0 n →∞

n →∞ x0 x

即

( x) = y0 + ∫ f (ξ , (ξ ))dξ ,x0

x

只需函数列{ f ( x, n ( x))}在[ x0 h, x0 + h]上一 致收敛于f ( x, ( x)).由 f ( x, n ( x)) f ( x, ( x)) ≤ L n ( x) ( x)

只需{ n ( x)}在[ x0 h, x0 + h]上一致收敛于 ( x).

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由于 0 ( x) + ∑ ( k ( x) k 1 ( x)) = n ( x),

n

于是函数列{ n ( x)}在[ x0 h, x0 + h]上一致收 敛性, 等价于函数项级数

k =1

0 ( x) + ∑ ( n ( x) n 1 ( x)),n =1

∞

在[ x0 h, x0 + h]上一致收敛性.

(4) (x)是 分 程 3.5)定 于 x0 h, x0 +h]上 续 积 方 ( 义 [ 连 解 且 一 唯 .

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下面分五个命题来证明定理,为此先给出 积分方程 如果一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符 号下含有未知函数, 则称这样的关系式为积分方程.如 : y = e + ∫ y (t )dt , 就是一个简单的积分方程.x 0 x

积分方程的解对于积分方程y = y0 + ∫ f (t , y )dt , 如果存在定义在区间x0 x

I = [α , β ]上的连续函数y = ( x), 使得

( x) = y0 + ∫ f (t , (t ))dtx0

x

在区间I上恒成立, 则称y = ( x)为该积分方程的解.

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dy = f (x, y) , (

3.1 ) 命题1 初值问题(3.1)等价于积分方程 dx y(x0) = y0 x

y = y0 + ∫ f (t , y )dtx0

(3.5)

证明: 若y = (x)为(3.1)的连续解, 则

d ( x ) = f ( x, ( x)) , dx ( x0 ) = y0 对第一式从x0到x取定积分得 x ( x) ( x0 ) = ∫ f ( x, ( x))dx即 ( x ) = y0 +

∫

x

x0

f ( x, ( x))dx

x0

故y = ( x)为(3.5)的连续解.

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反之 若y = (x)为(3.5)的连续解, 则有

( x) = y0 + ∫ f (t , (t ))dtx0

x

由于f ( x, y )在R上连续, 从而f (t , (t ))连续,故对上式两边求导,得

d (x) (x = f ( x, ( x)) dx x0 且 ( x0 ) = y0 + ∫ f ( x, ( x))dx = y0x0

即y = ( x)为(3.1)的连续解.

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构造Picard逐步逼近函数列{ n ( x)}

0 ( x ) = y0 x n ( x) = y0 + ∫ f (ξ , n 1 (ξ ))d ξx0

(3.7)x0 ≤ x ≤ x0 + h

(n = 1,2, L)注 一般来说连续函数 0 ( x)可任取, 但实际上为

方便, 往往取 0 ( x) = y0的常数值.问题:这样构造的函数列是否行得通, 即上述的积分 是否有意义?

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命题2

对于所有n和x ∈ [ x0 , x0 + h], n ( x)连续且满足

n ( x) y0 ≤ b,证明:(用数学归纳法)x

(3.8)

n = 1时 1 ( x) = y0 + ∫x f (ξ , y0 )dξ0

显然 1 ( x)在[ x0 , x0 + h]上连续, 且

1 ( x) y0 =

∫

x

x0

f (ξ ,y0 )dξ ≤ ∫ f (ξ , y0 ) dξx x0

≤ M x x0 ≤ Mh ≤ bM = M f (x, y) ax(x, y)∈ R

b in h= m ( a, ) M

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设命题2当n = k时成立, 即 k ( x)在[ x0 , x0 + h]上连续且

k ( x ) y0 ≤ b当n = k + 1时 k +1 ( x) = y0 + ∫ f (ξ , k (ξ ))dξx0 x

由f ( x, y )在R上连续性知, f ( x, k ( x))在[ x0 , x0 + h]上连续从而 k +1 ( x)在[ x0 , x0 + h]上连续且

k +1 ( x) y0 =

∫

x

x0

f (ξ , k (ξ ))dξ ≤ ∫x f (ξ , k (ξ )) dξ0

x

≤ M x x0 ≤ Mh ≤ b即命题2当n = k + 1时成立, 从而命题2对所有n都成立,

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命题3

函数序列{ n ( x)}在[ x0 , x0 + h]上一致收敛.

记lim n (x) = (x), x∈[x0, x0 + h].n→ ∞

证明:

考虑函数项级数∞ n= n =1

0 ( x) + ∑ ( n ( x) n 1 ( x)), x ∈ [ x0 , x0 + h], (3.9)它的前n项部分和为

S n ( x) = 0 ( x) + ∑ ( k ( x) k 1 ( x)) = n ( x),于是{ n ( x)}一致收敛性与级数(3.9)一致收敛性等价.k =1

n