第四节 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率

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第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数一、隐函数的导数二、对数求导法 三、由参数方程所确定的函数的导数 四、小结 思考题

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一、隐函数的导数【定义】 由方程所确定的函数 y y ( x )称为隐函数.y f ( x ) 形式称为显函数F ( x, y) 0 y f (x)

.

隐函数的显化3

如

x y 1 03

y

1 x

能够显化.

e

xy

xy 0

确定隐函数，但不能显化.

【问题】隐函数不易显化或不能显化如何求导? 【隐函数求导方法】用复合函数求导法则直接对方程两边求导.(含导数 y 的方程) 两边对 x 求导机动 目录 上页 下页 返回 结束

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【例1】 求由方程y 的导数

xy e ex

y

0 所确定的隐函数

dy dx

,

dy dxx 0

.

【解】

方程两边对

x 求导 ,x

y x

dy dx

e

ex

y

dy dx

0

解得 dy dx

dy dx

e

yy

x ex

,

由原方程知

x 0 时 , y 0,

e

yy x 0 y 0

x 0

x e

1.

【注意】求隐函数的导 数，结果中允许含有因 变量y .

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【例2】

设 x xy y 1 , 求 y 在点 ( 0 ,1 ) 处的值 .4 4

【分析】此为隐函数的高阶导数 【解】方程两边对3

x 求导得3

4 x y xy 4 y y 0代入 x 0 , y 1 得

(1 ) 1 4 ;

y

x 0 y 1

将方程2

( 1 ) 两边再对

x 求导得2 2 3

12 x 2 y x y 12 y ( y ) 4 y y 0代入 x 0 , y 1 ,

y

x 0 y 1

1 4

得

y

x 0 y 1

1 16

.

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二、对数求导法观察函数y ( x 1)3 x 1 ( x 4) e2 x

,

y x

sin x

,如何求导?

【方法】 先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数. --------对数求导法

【适用范围】多个函数相乘、除、乘 u( x )v( x)

方、开方和幂指

函数

的情形 .机动 目录 上页 下页 返回 结束

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【例4】 设 y

( x 1)3 x 1 ( x 4) e2 x

, 求 y .

【解】 等式两边取对数得ln y ln( x 1 ) 上式两边对

1 3

ln( x 1 ) 2 ln( x 4 ) x

x 求导得

y y

1 x 1

1 3( x 1)

2 x 4

1

y

( x 1)3 x 1 ( x 4) e2 x

[

1 x 1

1 3( x 1)

2 x 4

1]

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【例5】 设 y x sin x ( x 0 ), 求 y .

【解】 等式两边取对数得上式两边对1 y

ln y sin x ln x

x 求导得1 x

y cos x ln x sin x

y y (cos x ln x sin x xsin x

1 x

)

(cos x ln x

sin x x

)

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一般地f ( x ) u( x )v( x)

( u( x ) 0)

两边

取对数 两边同时对x求导

ln f ( x ) v ( x ) ln u( x )1 f ( x)

f ( x ) [v ( x ) ln u( x )]

f ( x ) f ( x ) [v ( x ) ln u( x )]

f ( x ) u( x )

v( x)

[v ( x ) ln u( x )

v ( x )u ( x ) u( x )

]

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或这样推导y u ev v ln u

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y e

v ln u

( v ln u v v

1 u 1 u

u ) u )

u ( v ln u v

即

u v v ln u vu v 1 u y

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三、由参数方程所确定的函数的导数 x (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数关系 , y (t ) 称此函数为由参数方程 所确 定 的函数 .

【例如】

x 2t, 2 y t ,

t x

x 2

消去参数 t y 1 2

y t

2

( ) 2 42

x

2

x

【问题】 消参困难或无法消参如何求导?机动 目录 上页 下页 返回 结束

x (t ) 在方程 中, y (t )设函数 x ( t ) 具有单调连续的反函数 y [ 1

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t

1

( x ),

( x )]

复合函数

再设函数

y ( t ), x ( t ) 都可导 , 且 ( t ) 0 ,

由复合函数及反函数的求导法则得dy dx dy dt dt dx dy dt 1 dx dt

( t ) ( t )

dy 即 dt dx dx dt dy

参数方程 求导公式.

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【注】dx 是通过 t 作为媒介成为 x x (t ) dy ( t ) dx ( t )

dy

的函数,应表示为

参数

为方便见，通常把 x (t )省去，后同.

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若函数2

x (t ) 二阶可导 , y (t )

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d y dx2

d ( t ) dt ( ) ( ) dt ( t ) dx dx dx

d

dy

容易出错， 切勿漏掉 1

( t ) ( t ) ( t ) ( t ) (t )2

( t )

即

d y dx2

2

( t ) ( t ) ( t ) ( t ) (t )3

.

【注】 不必死记，要会方法.求高阶导数,从低到高每次都用参数方程求导公式.机动 目录 上页 下页 返回 结束

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x a ( t sin t ) 【例6】 求摆线 在 t 处的切线 2 y a ( 1 cos t )方程 .

dy

【解】

dt a sin t sin t dx a a cos t 1 cos t dx dy dt

dy dxt 2

sin

2 2 1.

1 cos

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