信息光学习题解答

信息光学(第二版)部分重点习题解答,苏显渝主编,李继陶 曹益平 张启灿 编,科学出版社出版

第一章习题解答x comb ( ) = comb ( x ) exp( jπ x ) + comb ( x ) 1.2 证明 2 ∞ ∞ x x comb 证： ( 2 ) = ∑ δ ( 2 n ) = 2 ∑ δ ( x 2 n ) n = ∞ n = ∞ccomb ( x ) exp( jπ x ) =n = ∞ ∞

∑ δ ( x n ) exp( jπ x ) ∑ δ ( x n ) exp( jπ n ) ∑ ( 1)n

∞

= =

n = ∞ ∞ n = ∞

δ ( x n)n = ∞

comb ( x ) exp( jπ x ) + comb ( x ) =

∑ ( 1)0

∞

n

δ ( x n) +

n = ∞

∑ δ ( x n)

∞

n为奇数∞

=

2 ∑ δ ( x 2n)n = ∞

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1.4 计算下面两个函数的一维卷积h( x ) = 1 + xf (x) = 1 x

1

0

x

0 f (α )

1

x

解：(1)改变量 ：(1

h( α )

0

1

αh( x α )

0 f (α )

1

α

(2)折叠 (3)位移 当 1 ≤ x ≤ 0

0

1+ x 1

α

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(3)位移 当 1≤ x ≤ 01+ x

如图

h( x α )

f (α )

相乘、 相乘、积分得卷积

g( x ) = =当

∫ ∫

0 1+ x

f (α )h( x α )d α

0

1+ x 1

α

0

1 1 1 3 (1 α ) ( 1 + x α ) d α = + x x 3 2 6

0≤ x≤1

如图

f (α )

相乘、 相乘、积分得卷积

h( x α )

g( x ) =

∫ =∫

1

x 1 x

f (α )h ( x α ) d α (1 α ) ( 1 + x α ) d α

0

x

1

α

1 1 1 3 = x+ x 3 2 6

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1 1 1 3 + x x 3 2 6g( x ) =

1≤ x ≤ 0

1 1 1 3 x+ x 3 2 6

0≤ x≤1

0 1.5 计算下列一维卷积x 1 ( 1 ) δ ( 2 x 3 ) rect ( ) 2 x + 1 x 1 ( 2 ) rect ( ) rect ( ) 2 2

其它

( 3 ) comb ( x ) rect ( x )

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解(1) )( 1 ) δ ( 2 x 3 ) rect (1 = rect ( 2 x

x 1 1 3 x 1 ) = ) δ ( x ) rect ( 2 2 2 2

3 1 1 x 2 .5 2 ) = rect ( ) 2 2 2

( 2 ) rect (

x + 1 x 1 ) rect ( ) 2 2 rect (

x α +1 rect ( ) 2

α 12

)

2 x

1 x+2 2 α 2≤ x≤0

x

1

2α

g( x ) =g( x ) =

∫

2+ x

02 x

dα = x + 2= 2 x

0≤ x≤2

∫

dα

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2+ x

2≤ x≤0 0≤ x≤2

g( x ) =

2 x

0x 1+ 2 x 1 2

其它 2≤ x≤0 0≤ x≤2

=2

0x g( x ) = 2 ∧ ( ) 2

其它

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( 3 ) comb ( x ) rect ( x ) =comb ( x )

n = ∞

∑ δ ( x n ) rect ( x )rect ( x )=

∞

comb ( x ) rect ( x )

L

L

1.6 已知 exp( π x 2 ) 的傅里叶变换为 exp( π ξ 2 ) 试求

{ exp( x ) }= ?2

x2 ) =? exp( 2 2σ

解： 利用傅里叶变换的坐标缩放性质可求得答案

{

f ( ax , by ) } =

ξ η 1 F( , ) ab a b

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2 x 2 ) = { exp( x ) } = exp( π π

π exp( π 2ξ 2 )2 2

x ) = exp π exp( 2 2σ 2

x

=

2 π σ exp

[ π (

2πσ

2

=? 2

2 πσ

ξ2

)]2

=

2 π σ exp 2 π 2 σ 2 ξ

[

]

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1.7 计算积分(1)∞

∫

∞

∞

sinc ( x) = ?4

(2)

∫

∞

∞

sin c 2 ( x ) cosπ x = ?∞

解：利用广义巴塞伐定理求解

利用广义巴塞伐定理求解

∫ ∫(1 )

f ( x , y )g (x, y) dx dy =

∞

∫ ∫

F (ξ , η )G (ξ , η ) d ξ d η

∞

∫0 1∞

∞

∞

sin c ( x ) =4

∫

∞

∞

∧ (ξ ) ∧ (ξ )d ξ2

1+ξ

∧ (ξ ) 1 ξ

=(2)

∫

(1 + ξ ) d ξ +22

∫

1

0

2 (1 ξ ) d ξ = 3

ξ

∫

∞

1 ∞ 1 1 ∞ 1 sinc ( x) cosπ xdx = ∫ ∞ ∧ (ξ )δ (ξ + )d ξ + ∫ ∞ ∧ (ξ )δ (ξ )d ξ 2 2 2 2 = 1 1 1 1 1 ∧ ( ) + ∧ ( ) = 2 2 2 2 2

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1.8应用卷积定理求 1.8应用卷积定理求 f ( x) = sinc( x) sinc(2 x) 的傅里叶变换 解：

{sinc( x)sinc(2x)} = {sinc( x)} { sinc(2x)}= 1 ξ rect (ξ ) rect ( ) = G (ξ ) 2 2

ξ

1

α

ξ

1

α

1 ξ1 3 ≤ξ ≤ 2 2

α

1 1 ≤ξ ≤ 2 2

3 1 ≤ξ ≤ 2 2

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1 1 ≤ ξ ≤ 2 2

1 G (ξ ) = 21 +ξ 2

∫

1 2 1 ξ 2

ξ+

1 dα = 2

ξ

1 +ξ 2

1

α

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