新北师大版八年级上数学勾股定理知识点+对应练习

时间：2026-01-20

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第一章勾股定理

1、勾股定理定义：直角三角形的两直角边长的平方和等于斜边的平方。如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.

弦c

b股

a勾C

勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边 2.勾股定理定义的应用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边（在 ABC中， C 90

，则c

，b

，a）

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题例. 在Rt△ABC中，∠C=90°

（1）若a=5，b=12，则c=________；（2）b=8，c=17，则S△ABC=________。 3.勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等

式，推导出勾股定理

常见方法如下：

方法一：4S S正方形EFGH

S正方形ABCD，4 ab (b a)2 c2，化简

可证

方法二：

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为1

S 4 ab c2 2ab c2

大正方形面积为S (a b)2 a2 2ab b2 所以a2 b2 c2

4.勾股定理的逆定理

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如果三角形的三边长a、b、c满足a+b＝c，那么这个三角形是直角三角形。

5.勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么

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ka，kb，kc同样也是勾股数组。）常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13 7 24 25 ，8 15 17

注：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转

化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：

（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；

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（2）验证c与a+b是否具有相等关系，

若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ABC为锐角三角形。

（定理中a，b，c及a2 b2 c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2 c2 b2，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边）

例.若一个三角形的三边之比为5∶12∶13，则这个三角形是________（按角分类）。若一个三角形的三边长分别为3,4,7，则这个三角形是________（按角分类）。

6.勾股定理的应用

（1）立体图形上两点间的最短距离

柱体的侧面展开图是一个矩形，求柱体上两点之间最短距离，需要把柱体展开成平面图形，依据两点之间线段最短，以最短线为边构造直角三角形，利用勾股定理求解。例：有一圆柱形食品盒，它的高等于16cm，底面直径为20cm，蚂蚁爬行的速度为2cm/s. 如果在盒外下底面的A处有一只蚂蚁，它想吃到盒外对面中部点B处的食物，那么它至少需要多少时间? (结果保留π)

（2）平面图形中的长短问题

在求平面图形中某条线段的长时，可以通过设未知数，构建方程求解。

例.如图，矩形纸片ABCD的长AD=9㎝，宽AB=3㎝，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长是多少？

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练习

（一）判断三角形：

1.已知 ABC的三边a、b、c满足(a b) (b c) 0，则 ABC为 2.在 ABC中，若a=（b+c）（b-c），则 ABC是 90 3.在 ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长为 4.已知a 6 2b 8 (c 10) 0,则以a、b、c为边的三角形是

5.已知x 12 x y 25 与z 10z 25互为相反数，试判断以x、y、z为三边的三

角形的形状。

6.已知：在 ABC中，三条边长分别为a、b、c，a=n 1，b=2n，c=n 1（n>1）试说明： C=90 。

7.若 ABC的三边a、试判断 ABCb、c满足条件a2 b c 338 10a 24b 26c，的形状。

（二）、实际应用：