逻辑代数的基本知识

适合电子信息工程类专业的同学。

逻辑代数的基本知识1.逻辑代数的基本定律

根据逻辑变量和逻辑运算的基本定义，可得出逻辑代数的基本定律。①交换律：②结合律：③分配律:

A+B=B+A，

A+(B+C)=(A+B)+C，

A B=B A；

A (B C)=(A B) C；

A (B+C)=A B+A C，A+B C=(A+B) (A+C)；

④互非定律:A+A=l，A A=0；⑤重叠定律（同一定律）：A A=A，

A A 1，A A 0；

A+A=A；

⑥反演定律(摩根定律）：A B=A+B9A+B=A B

A B A B，A B A B；

⑦还原定律:

A A

2.逻辑代数的基本运算规则（1）代入规则

在逻辑函数表达式中凡是出现某变量的地方都用另一个逻辑函数代替，则等式仍然成立，这个规则称为代入规则。例如，已知A+AB=A，将等式中所有出现A的地方都以函数(C+D)代替则等式仍然成立，即（C+D)+(C+D)B=C+D。

（2）反演规则

对于任意的Y逻辑式，若将其中所有的“ ”换成“+”换成“ ”，0换成1，1换成0，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到原函数Y的反函数，运用它可以简便地求出一个函数的反函数。

运用反演规则时应注意两点：

要注意运算符号的优先顺序，不应改变原式的运算顺序。

例：Y

AB CD应写为Y (A B)(C D)

D)

证：Y AB CD AB CD (A B)(C不属于单变量上的非号应保留不变。例：Y

A BC C(D E)

则

则Y (A B C) C (D E)

Y A BC D

（3）对偶规则

Y A B C D

对于任何一个逻辑函数，如果将其表达式Y中所有的算符“ ”换成“+”换成“ ”，常量“0”换成换成“0”，而变量保持不变，则得出的逻辑函数式就是Y的对偶式，记为Y’。例如：若Y=A (B+C)，则Y'=A+B C；若两个逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。

使用对偶规则时，同样要注意运算符号的先后顺序和不是一个变量上的“非”号应保持不变。

3.逻辑代数的表示方法

逻辑函数可以用逻辑真值表、逻辑表达式、逻辑图、卡诺图、波形图等方法来表示。（1）真值表

以表格的形式反映输入逻辑变量的取值组合与函数值之间的对应关系。它的特点是直观、明了，特别是在把一个实际逻辑问题抽象为数学问题时，使用真值表最为方便。因此，在进行数字电路的逻辑设计时，首先就是根据设计要求，列出真值表。

（2）函数表达式

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用与、或、非等逻辑运算表示逻辑函数中各个变量之间逻辑关系的代数式，叫做函数表达式或逻辑表达式。这种表示方法书写简洁、方便，其主要优点是便于利用逻辑代数的公式和定理进行运算、变换。它的缺点是不如真值表直观，尤其是在逻辑函数比较复杂时，难以直接从变量取值看出函数的值。

（3）逻辑图

逻辑图是指用逻辑图形符号来表示逻辑函数与变量之间的逻辑关系。一般图形符号都有相应的电路器件，所以逻辑图也叫逻辑电路图，它比较接近工程实际。

（4）卡诺图

卡诺图实际上是真值表的另一种表示形式，我们将在下面逻辑函数的化简部分中详细介绍。（5）波形图

波形图是由输入变量的所有可能取值组合的高、低电平及其对应的输出函数值的高、低电平所构成的图形。

【例5.1】已知函数的逻辑表达式为Y=（1)列出相应的真值表；

（2)已知输入波形，画出输出波形；（3)画出逻辑图。【解】

①将A，B，C的所有组合代入逻辑表达式计算，得到真值表如表5-6所示。②根据真值表，画出例5.1的输出波形，如图5-13所示。根据逻辑表达式，画出逻辑图如图5-14所示。

B+C。要求：

图5-13例5.1波形图

表5-6例5.1

真值表

图5-14逻辑图

4.逻辑代数的化简

同一逻辑函数可以写成不同的逻辑式，而这些逻辑式的繁简程度又相差甚远。逻辑形式越简单，它所表示的逻辑关系就越明显，同时也有利于用最少的电子器件实现这个逻辑关系。因此，经常需要通过化简的手段来找出逻辑函数的最简形式。

（1）逻辑函数的最简形式

化简的形式一般称为与或逻辑式，最简与或逻辑式的标准如下：①逻辑函数式中乘积项（与项）的个数最少；

②每个乘积项中的变量数最少。

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（2）逻辑函数的代数化简法1）并项法利用公式

AB AB A，将两项合并为一项，消去一个变量。

例如：Y ABC ABC BC BC(A A) BC BC BC 1

Y ABC AB ABC B(AC A AC) B

2)吸收法

利用公式A+AB=A及AB+AC+BC=AB+AC，消去多余乘积项。例如：Y

AB ABCD(E F) AB

Y ABD ABC CD ABD ABC

3)配项法

利用公式A+A=1，给某个乘积项配项，以达到进一步简化。例1.

Y BC AB C BC(A AB ABC ABC BC ABC ABC AB AB (B AB 例2.

Y AD AD AB AC BD ABEF BEF A AB A BD A A BD 5.卡诺图化简法（1）最小项

1）最小项的定义

对于N个变量，如果P是一个含有N个因子的乘积项，而在P中每一个变量都以原变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次，那么就称P是N个变量的一个最小项。

因为每个变量都有以原变量和反变量两种可能的形式出现，所以N个变量有2个最小项。2）最小项的性质

P24表-16列出了三个变量的全部最小项真值表。由表可以看出最小项具有下列性质：性质1：每个最小项仅有一组变量的取值会使 …… 此处隐藏：2518字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……