选修2-1教案 3.1空间向量及其运算

§3.1.1 空间向量及其加减与数乘运算

教学要求：理解空间向量的概念，掌握其表示方法；会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．

教学难点：由平面向量类比学习空间向量．

教学过程：

一、复习引入

1、有关平面向量的一些知识：什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？ 既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：用有向线段表示；用字母a、b等表示； 用有向线段的起点与终点字母：AB．长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

2. 向量的加减以及数乘向量运算：

向量的加法：

向量的减法：

实数与向量的积： 实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：|λa|＝|λ||a| (2) 当λ＞0时，λa与a同向； 当λ＜0时，λa与a反向； 当λ＝0时，λa＝0. 3. 向量的运算运算律：加法交换律：a＋b＝b＋a

4. 三个力都是200N，相互间夹角为60°，能否提起一块重500N的钢板？

二、新课讲授

1. 定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模.

→ 举例？ 表示？（用有向线段表示） 记法？ → 零向量？ 单位向量？ 相反向量？ → 讨论：相等向量？ 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．

→ 讨论：空间任意两个向量是否共面？

2. 空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样： OB OA AB=a+b， ， AB OB OA（指向被减向量） OP λa ( R) （请学生说说数乘运算的定义？）

3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律． ⑴加法交换律：a +b = b + a； ⑵加法结合律：(a + b) + c =a+ (b + c)； ⑶数乘分配律：λ(a + b) =λa +λb； ⑶数乘结合律：λ(ua) =(λu)a ． 4. 推广：⑴A1A2 A2A3 A3A4 An 1An A1An； ⑵A1A2 A2A3 A3A4 An 1An AnA1 0；⑶空间平行四边形法则．

5. 出示例：已知平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）

，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量： ABCD A'B'C'D'（如图） ⑴AB BC； ⑵AB AD AA'；

1 1 (3)AB AD CC'； ⑷(AB AD AA')．23

师生共练 → 变式训练

6. 练习：课本P92 7. 小结：概念、运算、思想（由平面向量类比学习空间向量）

三、巩固练习： 作业：P106 A组 1、2题.

选修2-1教案 3.1空间向量及其运算

§3.1.2 空间向量的数乘运算（二）

教学要求：了解共线或平行向量的概念，掌握表示方法；理解共线向量定理及其推论；掌握空间直线的向量参数方程；会运用上述知识解决立体几何中有关的简单问题．

教学重点：空间直线、平面的向量参数方程及线段中点的向量公式．

教学过程：

一、复习引入 1. 回顾平面向量向量知识：平行向量或共线向量？怎样判定向量b与非零向量a是否共线？

方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量． 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b＝λa.称平面向量共线定理，

二、新课讲授

1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这 些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b记作a//b．

2．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论： 共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb. 理解：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若a∥b（a≠0），则有b＝ a，其 中 是唯一确定的实数。②判断定理：若存在唯一实数 ，使b＝ a（a≠0），则有a∥ b（若用此结论判断a、b所在直线平行，还需a（或b）上有一点不在b（或a）上）. ⑵对于确定的 和a，b＝ a表示空间与a平行或共线，长度为 | a|，当 >0时与a 同向，当 <0时与a反向的所有向量. 3. 推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O， 点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式 OP OA ta．

其中向量a叫做直线l的方向向量.

推论证明如下： ∵ l//a ，∴ 对于l上任意一点P，存在唯一的实数t，使得AP ta．(*) 又∵ 对于空间任意一点O，有AP OP OA， ∴ OP OA ta ， OP OA ta． ① 若在l上取AB a，则有OP OA tAB．(**) O AOA tO．B② 又∵ AB OB ∴ OP OA t(OB OA) (1 t)

1 1 当t 时，OP (OA OB)．③ 22

理解：⑴ 表达式①和②都叫做空间直线的向量参数表示式，③式是线段的中点公式．事实上，表达式(*)和(**)既是表达式①和②的基础，也是直线参数方程的表达形式．

⑵ 表达式①和②三角形法则得出的，可以据此记忆这两个公式．

⑶ 推论一般用于解决空间中的三点共线问题的表示或判定． 空间向量共线（平行）的定义、共线向量定理与平面向量完全相同，

是平面向 …… 此处隐藏：5284字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……