控制工程基础第二章-1

第二章 控制系统的数学模型数学模型的基本概念 1. 数学模型 数学模型是描述系统输入、输出量以及内部 各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系 统结构及其参数与其性能之间的内在关系。 静态数学模型：静态条件(变量各阶导数为 零)下描述变量之间关系的代数方程。 动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系 的微分方程。College of mechanical & electronic engineering

第二章 控制系统的数学模型2. 建立数学模型的方法

解析法依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化 学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。 实验法 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出 响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方 法也称为系统辨识。 数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时 应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。College of mechanical & electronic engineering

第二章 控制系统的数学模型3. 数学模型的形式 时间域：微分方程 复数域：传递函数、结构图 频率域：频率特性

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第二章 控制系统的数学模型§2-1 控制系统的微分方程及线性化方程 §2-2 拉氏变换及反变换 §2-3 传递函数及基本环节的传递函数§2-4 框图及其简化 §2-5 信号流图及梅逊公式

§2-1 控制系统的微分方程及线性化方程1. 建立数学模型的一般步骤

分析系统工作原理和信号传递变换的过程， 确定系统和各元件的输入、输出量； 从输入端开始，按照信号传递变换过程，依 据各变量遵循的物理学定律，依次列写出各 元件、部件的动态微分方程； 消去中间变量，得到描述元件或系统输入、 输出变量之间关系的微分方程； 标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排列；College of mechanical & electronic engineering

§2-1 控制系统的微分方程及线性化方程2.1 机械系统 机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可 简化为质量、弹簧和阻尼三个要素： 质量fm(t) x (t) v (t)

m

参考点2

d d f m ( t ) m v ( t ) m 2 x( t ) dt dtCollege of mechanical & electronic engineering

§2-1 控制系统的微分方程及线性化方程 弹簧x1(t) v1 ( t ) f K( t ) x2(t) v2 ( t ) f K( t )

K

f K ( t ) K x1 ( t ) x2 ( t ) Kx( t ) K

v1 ( t ) v 2 ( t ) dt t t

K v ( t )dtCollege of mechanical & electronic engineering

§2-1 控制系统的微分方程及线性化方程 阻尼v1 ( t ) x1(t) f C( t ) v2 ( t ) x2(t)

f C ( t ) C v1 ( t ) v 2 ( t ) Cv( t ) dx1 ( t ) dx 2 ( t ) C dt dt dx( t ) C dtCollege of mechanical & electronic engineering

C

f C( t )

§2-1 控制系

统的微分方程及线性化方程 机械平移系统fi(t)m 0 xo ( t ) K m f i( t ) fm(t) 0 xo(t) f K ( t ) f C( t ) 静止(平衡)工作点作为 零点，以消除重力的影响

C

机械平移系统及其力学模型

d2 m 2 xo (t ) f C (t ) f K (t ) f i (t ) dt f K (t ) Kxo (t ) d f C (t ) C xo (t ) dt

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§2-1 控制系统的微分方程及线性化方程 d2 m 2 xo (t ) f C (t ) f K (t ) f i (t ) dt f K (t ) Kxo (t ) d f C (t ) C xo (t ) dt

d2 d m 2 xo ( t ) C xo ( t ) Kxo ( t ) f i ( t ) dt dt

式中，m、C、K通常均为常数，故机械平移系 统可以由二阶常系数微分方程描述。

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§2-1 控制系统的微分方程及线性化方程 弹簧-阻尼系统f i( t )0

xo(t)K C

f i (t ) fC (t ) f K (t )d C xo ( t ) Kxo ( t ) f i ( t ) dt

系统运动方程为一阶常系数 微分方程。弹簧-阻尼系统College of mechanical & electronic engineering

§2-1 控制系统的微分方程及线性化方程 机械旋转系统 0

i(t)

o(t) 0JTC(t)

TK(t)K

柔性轴齿轮

C

粘性液体

J —旋转体转动惯量；K —扭转刚度系数；C —粘性阻尼系数College of mechanical & electronic engineering

§2-1 控制系统的微分方程及线性化方程 i(t)0

o(t) 0J TK(t)K

TC(t)

柔性轴 齿轮2

C

粘性液体

J —旋转体转动惯量；K —扭转刚度系数；C —粘性阻尼系数

d d J 2 o ( t ) C o ( t ) K o ( t ) K i ( t ) dt dt

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§2-1 控制系统的微分方程及线性化方程例2-2设有如图2-3a所示的齿轮传动链，由电动机M输入的扭矩为 Tm , L为输 TL 为负载扭矩。图中所示的 i 为各齿轮齿数， J2 、 J1 、 出端负载， J3 、 及 1 、 2 、 3 分别为各轴及相应齿轮的转动惯量和转角。

z

可得如下动力学方程组 f Tm J1 1 1 1 T 1 f T2 J 2 2 2 2 T3 f T T J 4 3 3 3 3 L

(2-4)

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§2-1 控制系统的微分方程及线性化方程 f Tm J1 1 1 1 T1 f T2 J 2 2 2 2 T3 f T T J 4 3 3 3 3 L

(2-4)

式中

f1

f3

f 2 —— 传动中各轴及齿轮的粘性阻尼系数；T1 —— 齿轮 z 1 对 Tm 的反转矩； T —— z2 对 T1 的反转矩；2

T 3 —— z 3 对 T 2 的反转矩； T 4 —— z 4 对 T 3 的反转矩； TL —— 输出端负载对 T 4 的反转矩，即负载转矩。College of mechanical & electronic engineering

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