中国科学院大学20139310

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中国科学院大学2012年《机器学习》试卷及其答案

任课教师：卿来云

一、基础题（共36分）

1、请描述极大似然估计MLE和最大后验估计MAP之间的区别。请解释为什么MLE比MAP更容易过拟合。（10分）

MLE：取似然函数最大时的参数值为该参数的估计值，ymle=argmax[p(x|y)]；MAP：取后验函数（似然与先验之积）最大时的参数值为该参数的估计值，ymap=argmax[p(x|y)p(y)]。因为MLE只考虑训练数据拟合程度没有考虑先验知识，把错误点也加入模型中，导致过拟合。

2、在年度百花奖评奖揭晓之前，一位教授问80个电影系的学生，谁将分别获得8个奖项（如最佳导演、最佳男女主角等）。评奖结果揭晓后，该教授计算每个学生的猜中率，同时也计算了所有80个学生投票的结果。他发现所有人投票结果几乎比任何一个学生的结果正确率都高。这种提高是偶然的吗？请解释原因。（10分）

设x为第i个学生的猜中率（要么0要么1）x~Ber(θ),E(x)=θ,V(x)=θ(1-θ)

mean(x)~N(θ,θ(1-θ)/N),E(mean(x))=θ,V(mean(x))=θ(1-θ)/N<V(x)

3、假设给定如右数据集，其中A、B、C为二值随机变量，y为待预测的二值变量。

(a) 对一个新的输入A=0, B=0, C=1，朴素贝叶斯分类器将会怎样预测y？（10分） y~Ber(θ) p(y=0)=3/7,p(y=1)=4/7

p(y=0|A=0B=0C=1)∝p(y=0)*p(A=0|y=0)*p(B=0|y=0)*p(C=1|y=0)=3/7*2/3*1/3*1/3=2/63

p(y=1|A=0B=0C=1)∝p(y=1)*p(A=0|y=1)*p(B=0|y=1)*p(C=1|y=1)=4/7*1/4*2/4*2/4=1/28，因此属于y=1类

(b) 假设你知道在给定类别的情况下A、B、C是独立的随机变量，那么其他分类器（如Logstic回归、SVM分类器等）会比朴素贝叶斯分类器表现更好吗？为什么？（注意：与上面给的数据集没有关系。）（6分）

不会。因为已知独立同分布的前提下NBC只用3个参数，不用NBC则需要23-1=7个参数。若不独立，则其他基于数据本身的判别式分类器效果较好。

二、回归问题。（共24分）

现有N个训练样本的数据集D={(xi,yi)}，其中xi,yi为实数。

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1． 我们首先用线性回归拟合数据。为了测试我们的线性回归模型，我们随机选择一些样本作为训练样本，剩余样本作为测试样本。现在我们慢慢增加训练样本的数目，那么随着训练样本数目的增加，平均训练误差和平均测试误差将会如何变化？为什么？（6分）

平均训练误差：A、增加 B、减小

平均测试误差：A、增加 B、减小

因为当训练样本增多时，模型参数发生改变以拟合新增的样本，因而使得模型原先的拟合程度下降，平均训练误差增加；而训练样本增多，模型越接近真实的分布，因而使得平均测试误差减小。

2． 给定如下图(a)所示数据。粗略看来这些数据不适合用线性回归模型表示。因此我们采用如下模型其中。假设我们采用极大似然估计w，请给出log似然函数并给出w的估计。（8分）

p(yi|w,xi)~N(exp(wxi),1)

L(w)=logp(y|w,x)=-0.5*Σ(yi-exp(wxi))2+C

令g(w)=Σ[(yi-exp(wxi))*exp(wxi)*xi]=0求得w

3． 给定如下图(b)所示的数据。从图中我们可以看出该数据集有一些噪声，请设计一个对噪声鲁棒的线性回归模型，并简要分析该模型为什么能对噪声鲁棒。（10分）

如图离群点较多（heavy tail），使用鲁棒线性回归模型：y=wTx+ε~Laplace(wTx,b)

因为当y服从拉式分布时L(θ)=logp(D|X,w,b)=ΣlogLap(yi|wTxi,b)=-N*log(2b)-Σ|yi-wTxi|/b，其损失为残差绝对值和，对离群点不敏感；

而当y服从正态分布时，

L(θ)=logp(D|X,w,b)=ΣlogN(yi|wTxi,σ2)=-(N/2)*log(2πσ2)-Σ(yi-wTxi)2/2σ2，其损失为残差平方和，放大了误差，对离群点敏感。因此使用Laplace(或Student)线性回归模型能对噪声鲁棒。

三、SVM分类。（第1~5题各4分，第6题5分，共25分）

下图为采用不同核函数或不同的松弛因子得到的SVM决策边界。但粗心的实验者忘记记录每个图形对应的模型和参数了。请你帮忙给下面每个模型标出正确的图形。

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答：1.c 2.b 3.d 4.a 5.e

6、考虑带松弛因子的线性SVM分类器：

下面有一些关于某些变量随参数C的增大而变化的表述。如果表述总是成立，标示“是”；如果表述总是不成立，标示“否”；如果表述的正确性取决于C增大的具体情况，标示“不一定”。

(1) w0不会增大 (不一定)

(2) ||w||增大 (不一定）

(3) ||w||不会减小 （是）

(4) 会有更多的训练样本被分错 （否）

(5) 间隔(Margin)不会增大 （是）

四、一个初学机器学习的朋友对房价进行预测。他在一个N=1000个房价数据的数据集上匹配了一个有533个参数的模型，该模型能解释数据集上99%的变化。

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1、请问该模型能很好地预测来年的房价吗？简单解释原因。（5分）

2、如果上述模型不能很好预测新的房价，请你设计一个合适的模型，给出模型的参数估计，并解释你的模型为什么是合理的。（10分）

答：1.不能。因为模型参数过多太复杂，训练集上拟合太好，把错误点也考虑进来，因此发生了过拟合，预测误差较大。

2.对之进行L1正则，即Lasso回归。y~N(wTx,σ2) w~Lap(0,t)

L(θ)=C-Σ(yi-wTxi)2/2σ2 -Σ|wi|/b， …… 此处隐藏：623字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……