第二章 量子力学的初步介绍波粒二象性 物质波的统计解释和海森伯不确定原理 薛定谔方程 力学量的平均值、算符表示和本征值 定态薛定谔方程解简例

概 念：物质波；概率波；不确定关系；算符；平均值；势

井；零点能；隧道效应量子数；电偶极跃迁定则；寿命；能级和谱线宽度。

重 点：基本概念；电子衍射实验；薛定谔方程及其简单应 用实例；氢原子的量子力学求解结果；量子数的含 义；电子的几率分布；能级和光谱；角动量空间取 向量子化。 难 点：量子特性的理解。

量子力学建立的背景光的量子性 原子中的量子态■光谱实验 ■Bohr理论 ■Franck—Hertz实验

◎黑体辐射◎光电效应 ◎康普顿散射

至此形成的理论体系称之为“旧量子论”,可以解释一些 经典理论无法解释的实验现象和光谱。

§2-1 实物粒子的波动性 一. 德布罗意物质波 1923年，德布罗意将Einstein的光量子 概念推广，提出了物质波的概念。 思想方法：自然界在许多方面都是明显 地对称的，他采用类比的方法提出物质

波的假设 . 所有的波都具有粒子性 所有的粒子都具有波动性 不能将物质的运动和波的传播分开。Prince Louis-victor de Broglie 1892-1987 1929年获诺贝尔物理学奖

光的粒子性表现在光与物质的相互作用方面，波长 越短(或与障碍物或“孔”的线度可比拟时),光的

能量越高，其粒子性就显著，如电离气体、光电效应、康普顿效应、荧光效应、单光子记录等。

光的波动性表现在光的传播、干涉、衍射(是由光

学仪器的线度即障碍物揭示的)以及散射、反射、折射等方面。波长越长的光其波动性就越显著。

黑体辐射、光电效应和康普顿散射证明了光具有粒子的特性，粒子性的运动特征可以用动量等物理量来描述。 光子具有动量，每个光子的动量为

E h h p c c 作为粒子，光子具有质量

h p光子的静止质量

h m 2 c

光子的运 动质量

m0 0

在相对论情况下，对能量为E,动量为P和静止质量为m0 粒子有：

E

m0 c 2 1 (v c )2

h

p

m0v 1 (v c)2

h p

若以 Ek 表示粒子的动能，有：

E Ek m0 c 22 4 c 2 p 2 E 2 m0 c

hc2 4 E 2 m0 c

hc Ek ( Ek 2m0c2 )

对于非相对论情况，即粒子的速度远小于光速时，有

h h 2m0 Ek m0

概念：光在传播时显现出波性；

在转移能量时显示出粒子性。两者不会同时出现！

例 在一束电子中，电子的动能为 200eV ,求此 电子的德布罗意波长 ? 解

1 v c, Ek m0 v 2 2

v

2 Ek m0

2 200 1.6 10 19 1 6 -1 v m s 8 . 4 10

m s 9.1 10 310 h 6.63 10 34 2 nm 8.67 10 nm 0.8 A c 31 6 m0 9.1 10 8.4 10

例 计算质量 m 0.01kg , 速率 的子弹的德布罗意波长 .

v 300 m s宏观上很难测 到它的波动性

h 6.63 10 34 2.21 10 34 m mv 0.01 300

二. 德布罗意波的实验验证1. Davison-Germer实验1922年，Bell实验室的戴维孙(C.J.Davisson)因为一次偶然

事故，观测到电子在镍单晶体上的衍射图样。了解到物质波的概念后，在1927年，他和革末(L.H.Germer) 重做了一次较精确的实验。 他们观测到： 电子从晶体表面的反射，Clinton Joseph Davisson 1881~1958

呈现出波动的衍射特征

Lester Halbert Germer 1896~1971

电子 动能

1 me v 2 eV 2

h h p 2me eV

反射表面可看成光栅 电子束被镍单晶散射后在空间的角分布

反射表面可看成光栅

晶体中衍射 发生的条件

2. 德布罗意波的实验验证-- 汤姆孙电子衍射实验

(1927年)

G. P. Thomson

多晶金属铂

再次证明了电子具有波动性！10~40Kev电子

G . P . 汤姆孙电子衍射实验 ( 1927年 )

电子束透过多晶铝箔的衍射DK

电子双缝衍射图

PM

U

1932年德国人鲁斯卡成功研制了电子显微镜 ; 1981年德国人宾尼希和瑞士人罗雷尔制成了扫瞄隧道显微镜。 三十年后，人们发现不但电子，而且其它一切微粒如中子、质子 中性粒子和分子等都具有衍射现象，这说明这些粒子都具有波动 性！波粒二象性是光子和其它微粒共同具有的特性。这种即是粒 子，又是波的概念是经典物理所无法理解的！