步步高大一轮复习讲义

导数在研究函数中的应用

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知识网络平均变化率与瞬时变化率

导数的概念 导 数 及 其 应 用

平均速度与瞬时速度 导数的几何意义

基本初等函数导数公式

导数

导数的计算导数的四则运算 函数的单调性

导数的应用

函数的极值与最值 生活中的优化问题举例

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要点梳理1.函数的单调性

忆一忆知识要点

在某个区间(a,b)内，如果 f '(x) >0 ,那么函 数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果 f '(x) <0 , 那么函数 y=f(x)在这个区间内单调递减 . 在(a, b)内可导函数f(x), f '(x)在(a, b) 任意 子区间内都不恒等于0. f '(x) ≥0 f(x)为__________ 增函数；

f '(x) ≤ 0 f(x)为___________. 减函数主页

要点梳理2.函数的极值

忆一忆知识要点

(1)判断f(x0)是极值的方法

一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，

f ( x ) 0 , f ( x ) 0 , 右侧________ ①如果在x0附近的左侧________那么f(x0)是极大值；

f ( x ) 0 ,右侧 f ( x ) 0, ②如果在x0附近的左侧________那么f(x0)是极小值.主页

要点梳理2.函数的极值：

忆一忆知识要点

(2)求可导函数极值的步骤：

①求f '(x) ;②求方程 f ( x ) 0 的根； ③检查f '(x)在方程 f ( x ) 0的根左右值的符号. 如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得 极大值 ； 如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得 极小值 .

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要点梳理

忆一忆知识要点

3. 函数的最值 (1)在闭区间[a, b]上连续的函数 f( x) 在[a, b]上必有最大值与最小值. (2)若函数f(x)在[a, b]上单调递增,则_____ f (a ) 为函数的最小值，_____ f (b) 为函数的最大值；若 f (a ) 为函数 函数f(x)在[a,b]上单调递减，则_____ 的最大值，_____ f (b) 为函数的最小值.

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要点梳理

忆一忆知识要点

(3)设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b) 内可导，求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的 步骤如下：极值 ； ①求f(x)在(a, b)内的_______

②将f(x)的各极值与 f (a ), f (b) 比较，其中最大 的一个是最大值，最小的一个是最小值.

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基础自测

题号

答案

12 3 4 5

( , 1) 和 (1, )减函数

[ 3, )

②③ A主页

基础自测3.函数f(x)=x3+ax-2在区间(1,+∞)上是增函数，则 实数a的取值范围是[-3,+∞ .)

∵f(x)=x3+ax-2在 (1, +∞)上是增函数,

∴f ′(x)=3x2+a≥0在(1, +∞)上恒成立,即a≥-3x2在(1, +∞)上恒成立.

a ≥ 3.

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基础自测

5.设 a∈R,若函数 y=ex+ax,x∈R 有大于零的 极值点， 则 ( A ). A. a<-1 B.a>-1 x x 1 1 ∵ y = e + ax , ∴ y ′ = e + a. C. a < - D. a > - +a. e e

x 0 时，y 不可能有极值点，故 x x x 当 a ≥ a<0. ∵ y= =e e+ +ax a

x ,∴ ∴ y′′= =e e+ +a a.. ∵ y , y 有极值点，故 a<0. x x 由a e≥ + a =0 得 e =-a,∴x=ln(-a ) , 当 a ≥ 0 时， y 不可能有极值点，故 不可能有极值点，故 a <0. 当 0 时， y a <0.

由e e+ +a a =0 0得 得e e =- =-a a ,∴ ∴ x =ln( ln( -a a)) , 由 = , x = - , 的极值点， ∴ ln( - a )>0 , 即 ln(-a)>ln 1,∴a<-1. ∴ x = ln( - a) ) 即为函数的极值点， ∴ x = ln( - a 即为函数的极值点，主页

a,∴x=ln( - a ) , x x x x ∴x=ln(-a)即为函数的极值点，

-a)>ln 1, ∴ a< - 1. , ∴ ln( - a)>0 )>0 ,即 即 ln( ln( -a a)>ln )>ln 1 1 ,∴ ∴ a< < -1. 1. ∴ ln( - a - , a -

题 型一

利用导数研究函数的单调性

【例 1】 已知函数 f(x)=mx3+nx2 (m, n∈R, m≠0), 函数 y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线与 x 轴平 行. (1)用关于 m 的代数式表示 n; (2)求函数 f(x)的单调增区间.

解：(1)由已知条件得f ′(x)=3mx2+2nx, 又f ′(2)=0,∴3m+n=0,故n=-3m.主页

题 型一

利用导数研究函数的单调性

3 3-3mx2 (2) ∵ n =- 3 m , ∴ f ( x ) = mx (2)∵n=-3m,∴f(x)=mx -3mx2, , 2 2- 6mx. ∴ f ′( x ) = 3 mx ∴f′(x)=3mx -6mx.

2 令 f ′( x )>0 ,即 3 mx 令 f′(x)>0,即 3mx2- -6 6mx mx>0 >0, , 当 的单调增 当m m>0 >0 时，解得 时，解得 x x<0 <0 或 或x x>2 >2,则函数 ，则函数 f f( (x x) )的单调增 区间是 区间是( (- -∞ ∞, ,0) 0)和 和(2 (2,+ ,+∞) ∞); ;

当 当 是 是(0,2). (0,2).

m m<0 <0 时，解得 时，解得

0< 0<x x<2 <2,则函数 ，则函数

f f( (x x) )的单调增区间 的单调增区间

综上 综上, , 当 当m m>0 >0 时 时, , 函数 函数 f f( (x x) )的单调增区间是 的单调增区间是( (- -∞ ∞, , 0) 0) 和 和(2 (2,+ ,+∞) ∞);当 ；当 m m<0 <0 时，函数 时，函数 f f( (x x) )的单调增区间是 的单调增区间是(0,2). (0,2).主页

题 型一

利用导数研究函数的单调性

探究提高

利用导数求函数f(x)的单调区间的一般 步骤为： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f ′(x); (3)在函数f(x)的定义域内解不等式 f′(x)>0和f ′(x)<0; (4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.主页

变式训练 1

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1处取得极值-2. (1)试用c表示a,b; (2)求f(x)的单调递减区间.2 2 22ax+b, 解： (1) f ′ ( x ) = 3 x + 解： 解： (1) (1) f′ f′ (x) (= x)= 3x3 + x 2ax 2ax ++ b, b, 22 + 2 解： (1) ff ′ (( x )) = 3 x + 2 ax + b , 解： (1) ′ x = 3 x + 2 ax + b , 解： (1) f ′ ( x ) = 3 x + 2 ax + b , f ′ (1) = 0 3 + 2 a + b = 0 f ′ f ′ (1) (1) = = 0 0 3 + 3 + 2 a 2 + a + b …… 此处隐藏：3309字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……