第二章 机器人运动学§2.2 空间描述和坐标变换—位置和姿态的描述1、位置的描述 对于直角坐标系{A},空间任一点的位置可用3*1 阶的列矢量 A P 来 表示(也称位置矢量):

px A P p y pz 除了直角坐标系外，也可采用圆柱坐标系或球坐标系来描述点的位置。

第二章 机器人运动学§2.2 空间描述和坐标变换—位置和姿态的描述圆柱坐标(cylindrical) : 两个线性平移运动和一个旋转运动

球坐标(spherical) :

一个线性平移运动和两个旋转运动

第二章 机器人运动学§2.2 空间描述和坐标变换—位置和姿态的描述1、位置的描述 可以引入比例因子：

轾 wp x 轾 x 犏 犏 犏 犏 x y z wp y 其中： y A 犏 px = , py = , pz = P = 犏 = 犏 犏 w w w z wpz 犏 犏 犏 犏 w 犏 臌 w 臌比例因子可为任意值，相当于缩放，当为零时，表示为一个长 度为无穷大的向量，表示方向向量，由该向量的三个分量来表示， 此时需将该向量归一化，使长度为1。

第二章 机器人运动学§2.2 空间描述和坐标变换—位置和姿态的描述2、方位的描述 为了规定空间某刚体B的方位，另设一直角坐标系{B}与此刚体固 接。用坐标系{B}的三个单位主矢量

zB x B ,y B ,

相对于坐标系{A}

的方向余弦组成的3*3 阶矩阵来表示刚体B相对于{A}的方位：A B

R [ x B y B zB ]A A A

0

R1 [ 0n, 0o, 0a]ax ay az

r11 A B R r21 r 31

r12 r22 r32

r13 r23 r33

轾 nx o x 犏 0 R1 = 犏 ny o y 犏 犏 nz oz 犏 臌a x a ?y a z

轾 n鬃 x o x 犏 0 R1 = 犏 n鬃 y o y 犏 犏 n鬃 z o z 犏 臌

轾 cos(n ,x ) cos(o ,x ) cos(a ,x ) 犏 犏 cos(n ,y ) cos(o ,y ) cos(a ,y ) 犏 犏 cos(n ,z ) cos(o ,z ) cos(a ,z ) 犏 臌 4

第二章 机器人运动学§2.2 空间描述和坐标变换—位置和姿态的描述2、坐标系在固定参考坐标系中的表示 由表示方向的单位向量以及第四 个位置向量来表示

轾 nx 犏 犏 ny 犏 F= 犏 nz 犏 犏 0 臌

ox oy oz 0

ax ay az 0

Px Py Pz 1

例z n

a 45 45 P 3 5 o

n轴与x轴平行，o轴相对于y轴45° a轴相对于z轴45°

F坐标系位于参考坐标系3,5,7位置7

x

y5

第二章 机器人运动学§2.2 空间描述和坐标变换—位置和姿态的描述 ,Y X B B , ZBA

: 表示坐标系 {B}主轴方向的单位矢量.

, AY , AZ : 相对于坐标系 {A}的描述. X B B B

的顺序

, AY , AZ 将这些单位矢量组成一个 3×3的矩阵，按照 A X B B B .

旋转矩阵:

r11 r12 A A A A r22 B R X B YB Z B r21 r31 r32

r13 r23 r33

标量

rij

可用每个矢量在其参考坐标系中单位方向上的投

影的分量来表示。

第二章 机器人运动学§2.2 空间描述和坐标变换—位置和

姿态的描述3、旋转矩阵计算A B

R 称为旋转矩阵，上标A代表参考系{A},下标B代表被描述的

坐标系{B}。

0 1 R( x, ) 0 cos 0 sin cos R( y, ) 0 sin cos R( z, ) sin 0

0 sin cos 0 sin 1 0 0 cos

重要！

sin cos 0

0 0 1 7

第二章 机器人运动学 §2.2 空间描述和坐标变换—位置和姿态的描述Frame {A} and frame {B} {B} is rotated relative to frame {A} about Z by

degrees

PxA A P PyA , Pz A

PxB B P PyB PzB

PxA PxB cos PyB sin Py A PxB sin PyB cos Pz A PzB

PxA c PyA s 0 Pz A

s c 0

0 PxB 0 PyB 1 PzB 8

第二章 机器人运动学§2.2 空间描述和坐标变换—位置和姿态的描述rij 可用每个矢量在其参考坐标系中单位方向上的投影的分量来表示:A B

R 的各个分量可用一对单位矢量的点积来表示 X X X Y B A B A A Y A A A Y B R X B YB Z B X B YA B A X B Z A YB Z A X Z B A Z B YA Z Z B A

为了简单，上式的前置上标被省略。 由两个单位矢量的点积可得到二者之间的余弦，因此可以理解为什

么旋转矩阵的各分量常被称作为方向余弦。components of rotationmatrices are often referred to as direction cosines

PA PB=|PA| |PB| cosØ9

第二章 机器人运动学§2.2 空间描述和坐标变换—位置和姿态的描述进一步观察 因为B A

,可以看出矩阵的行是单位矢量 {A}在 {B}中的描述.

R 为坐标系{A}相对于 {B}的描述

T BX A A A A A B T B R X B YB Z B YA B T ZA B A T R B R 由转置得到 A

这表明旋转矩阵的逆矩阵等于它的转置 T AX B A A T A A T A A B R B R YB X B YB Z B I 3 A T ZB

A B

B 1 B T R A R A R

第二章 机器人运动学§2.2 空间描述和坐标变换—位置和姿态的描述4、旋转矩阵性质A R 矩阵有9个元素，其中只有3个是独立的。因为三个列矢量 1) B

都是单位主矢量，且两两相互垂直，所以它的9个元素满足6个约束条件(正交条件):AA

xB A xB A y B A y B A z B A z B 1

n o a 1

xB A y B A y B A z B A z B A xB 0

n o a

A 2)B R 把矢量在{B}中的坐标表达式变为在{A}中的坐标表达式的

变换矩阵：

A

A B P B R P

A 3)B R 是正交矩阵，即有：

A B

A T R 1 B R

A B

R 111

第二章 机器人运动学§2.2 空间描述和坐标变换—坐标系的描述B 用 A R 和

A

PBORG 来描述坐标系 {B} A {B} { B R , A PBORG }

第二章 机器人运动学§2.3 映射—坐标变换1、平移坐标系的映射 设坐标系{B}与{A}具有相同的方位，但是{B}的坐标原点与{A} 不重合，用位置矢量 A PB 描述它相对于{A}的位置，称为{B}相对于 {A}的平移矢量。如果点P在坐标系{B}中的位置为 B P ,则它相对A 于坐标系{A}的位置矢量 P

可由矢量相加得出：

A

P =

B

P + APB0

第二章 机器人运动学§2.3 映射—坐标变换2、旋转坐标系的映射

设坐标系{B}和{A}有共同的原点，但是两者的方位不同。同一点P在两个坐标系{A}和{B}中的描述 A P 和 B P 具有以下变换关 A R ,称为坐标系旋转方程。 系BA A B P B R P

B 用旋转矩阵 A R 表示坐标系{B}相对A 于{A}的方位。同样，用 B R 描述坐标系

{A}相对于{B}的方位。二者都是正交矩 阵，两者互逆。B A A 1 A T R B R B R

第二章 机器人运动学§2.3 映射—坐标变换Example: Frame {B} is rotated relative to frame {A} about Z by 30 degrees. Here Z is pointing out of the page. Writing the unit vectors of {B} in terms of {A} and stacking them as the columns of the rotation matrix: cos A B R sin 0 0.0 B P 2.0 0.0

sin cos 0

0 0.866 0.500 0.000 0.500 0.866 0.000 0 1 0.000 0.000 1.000

1.000 A A B P B R P 1.732 0.000 The original vector P is not changed,

we compute a new description relative to another frame.15

第二章 机器人运动学§2.3 映射—坐标变换关于一般坐标系的映射 坐标系{B}的原点与{A}的既不重合，方位也不相同。 复合变换是由坐标旋转和坐标平移共同作用的。A A B P B R P APBORG