洛必达(L’Hospital) 法则在求[1 ∞]型极限中的应用

大学数学

第22卷第4期2006年8月

大　学　数　学

COLLEGEMATHEMATICS

Vol.22,№.4Aug.2006

∞

()洛必达L’Hospital法则在求[1]型极限中的应用

邓　雪1,　赵俊峰2

(11华南理工大学数学科学学院,广州510640;　21广东工贸职业技术学院,广州510510)

　　[摘　要]给出了求不定式[1∞]型极限的一个定理,同时通过历年考研试题的应用,说明此定理是有效的、简单的.

[关键词]洛必达法则;无穷小;两个重要极限;等价无穷小

[中图分类号]O17211　　[文献标识码]C　　[文章编号]167221454(2006)0420158203

1　引　　言

在求不定式[1∞]型极限时,,给出一种比2　主要结果

定理　对于求极限limu(x)v

极限,那么

证　limu(x)

v(x)

(x)

(u(x)→1,v(x)→∞;x→∞,+∞,-∞,a,a+,a-),可看作[1∞]型

limu(x)v

=lim[1+u(x)-1]

u(x)-1

(x)

=elim[

(u(x)-1) v(x)]

.

.

(u(x)-1) v(x)

=elim[

(u(x)-1) v(x)]

其中(u(x)-1) v(x)为[0 ∞]型,可转换成

或型,再应用洛必达法则.0下面以历年考研试题中的[1∞]型极限为例,直接运用此定理结果,再结合等价无穷小的应用,计算更简便.

3　具体例子

例1(19901I.II.)　设a为非零常数,则lim

xx-x

=.

解　原式=lim

x x

x-a

sinx

=e2a.

例2(19951I.II.)　求lim(1+3x)

x→0

.

解　原式=lim3xx→0sinx

例3(19961I.II.)　设lim

xx-a

=e6.

x

=8,则a=

=lim

.

解　原式=lim

　[收稿日期]2005206226

x x

x-a

xx-=e3a,e3a=8,3a=ln8,a=ln2.

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第4期　　　　　邓雪,等:洛必达(L’Hospital)法则在求[1∞]型极限中的应用

例4(20031I.)　lim(cosx)

x→0

ln(1+x2)

159

=.

解　原式=lim(cosx-1)x→0ln(1+x2)

2

=lim

x→02x2

=e

-2

.

例5(19891III.)　求lim(2sinx+cosx)x.

x→0

解　原式=lim(2sinx+cosx-1)x→0

x

=lim

x→0

x

-

2

2x

=e2.

例6(19911I.III.)　求lim

(cos

x→+0

x)

x

.x

解　原式=lim(cos

x→+0

xx-1)x

=limx

x

x→+0

-

2

x

=e

-

2

.

例7(19931I.II.)　求limsin解　原式=lim

sin

x

+cosx

.

x

=t

x+cos-1 xlim

t→0

t

2

=lim-t→02t2t

=e2.

x

x

x

例8(20001IV.)　若a>0,b>0均为常数,则lim

x→0

解法1　原式=lim

x→xx

2

.

x

x021

ln=ab2

x

解法2　原式=lim

x→0

x

2=(ab)

2

x

lim

x→0

xx

+2xx

=(

lna+lnb)2

x→0

.

.

例9(20031IV.)　极限lim[1+ln(1+x)]x=解　原式=lim(1+ln(1+x)-1)x→0

x

=limxx→0

x

=e2.

例10(19871IV.)　求极限lim(1+xe)x.

x→0

x

解　原式=lim(1+xex-1)x→0

xn

=exp{limex}=e.

x→0

x

例11(19911IV.)　求极限lim

x→0

x2xnx

,其中n是给定的自然数.

x2xnx解　原式=lim

x→0nx

=lim

x→0nx

=e

2

.

例12(19981IV.)　求limntan

nn

2

n

　(n为自然数).

解　这是[1∞]型未定式,因为n是自然数,不是连续变量,故不能直接运用洛必达法则,先将n换成连续变量x,求得函数极限.再根据海涅定理,知函数极限即为数列极限.因为

lim

xtan

2

x

x

t=

x

t→0

x→+lim+

t

t2

=lim+

t→0

t

2

t

223

lim=lim==e.22

++3t3tt→0t→0

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160大　学　数　学　　　　　　　　　　　　　　第22卷

n

2

n

所以limntan

n=e.

3

同理,我们可计算:

2n

(i)limtan-2=e-2;

n4n

n

π(ii)limtan+=e2;

n4n

n

(iii)limtan+=e4.　(1994.III)

n4n

通过上面历年考研试题的应用,说明对于求[1∞]型的极限,本文给出的定理是有效的,计算是简洁的.

[参　考　文　献]

[1]　同济大学应用数学系.高等数学(上册)(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2003.

[2]　黄光谷等.考研数学题典(全国历年考研统考数学试题分类全解与指导)[M].武汉:华中科技大学出版社,2002.[3]　《大学数学》编辑部编.硕士研究生入学考试数学试题精解[M].合肥:TheApplicationsoftheTypeof[1∞]

DENGXue,　ZHAOJun2feng

1

2

(1.SchoolofSciences,SouthChinaUniversityofTechnology,Guangzhou510510,China;21GuangdongVocationalInstituteofIndustryandEconomic,Guangzhou510510,China)

Abstract:Thepurposeofthispaperistopresentthetheoremofsolvingthelimitofthetypeof[1∞].Andatthesametime,theapplicationsofexamplesinannualGraduateProgramTestshowthatthistheoremiseffectiveandsimple.

Keywords:L’Hospitallaw;infinitesimal;twoimportantlimits;infinitesimalequivalence