§3 全称量词与存在量词及全称命题特称命题北师版选修2-1

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北师大版高中数学选修2-1 第一章《常用逻辑用语》

§3 全称量词与存在量词及全称命题特称命题北师版选修2-1

3.1 全称量词与全称命题思考: x 下列语句是命题吗?形式上有什么特点?你能 判断它们的真假吗? (1) 中国所有的江河都流入太平洋. (2)任何一个实数都有相反数; (3)任意实数x, 都有x2≥2; , 2 x 1 是整数. (4)对任意一个 x Z

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定义：“所有”,“任何”,“任意”,“每一个”,“一切” 等表示全体的量词在逻辑中成为全称量词.含有 全称量词的命题，叫作全称命题. 常见的全称量词还有:“对所有的”,“对任意一 个”, “对一切”,“对每一个”,“任给”,“所有的”等.

符号：全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立 ”可用符号简记为

x∈M,p(x)

读作”对任意x属于M,有p(x)成立”.

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例1.判断下列命题是否全称命题,并判断其真假:

(1)所有的素数是奇数;(2)

x R, x 1 1;2

(3)对每一个无理数x, x2也是无理数;(4)存在两个相交平面垂直于同一条直线; (5)没有一个实数α,使tanα无意义.

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怎样判断全称命题的真假 判断全称命题" x M ,p x)"是真命题的方法： ( ——需要对集合M中每个元素x,证明p(x)成立. 判断全称命题" x M ,p(x)"是假命题的方法：——只需在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0) 不成立即可(举反例). 例2.判断下列全命题的真假： (1)每个指数函数都是单调函数； (2) ∈ R, 2 + 2 > 0; x"x N, 4 1; x (3)

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3.2 存在量词与特称命题 思考:下列语句是命题吗?形式上有什么特点?你 能判断它们的真假吗? (1)有些三角形的三个内角都是锐角; (2)有的四边形既是矩形又是菱形; (3)存在一个x∈ R,使2x+1=3; (4)至少有一个x∈Z,x能被2和3整除.

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定义：“有些”,“有一个”,“存在一个”等表示部 分的量词在逻辑中称为存在量词. 含有存在量 词的命题，叫作特称命题. 常见的存在量词还有“有些”,“有一 个”,“有的”, “某个”等.

符号：对于特称命题，“在M中存在一个x,使p(x)成立”,记作

x∈M,p(x).读作“在M中存在一个x,是p(x)成立”.

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例3:判断下列命题是否特称命题,并判断 其真假:(1)有的平行四边形是菱形; (2)有一个素数不是奇数;

(3)有的向量方向不定;(4)存在一个函数,既是偶函数又是奇函数;

(5)有一些实数不能取对数.

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——只需在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)

成立即可 (举例说明).

判断存在性命题" x0 M ,p x0 )"是假命题的方法： (

——需要证明集合M中,使p(x)成立的元素x不 存在. 例4 判断下列特称命题的真假 (1)有一个实数x0,使x02+2x0+3=0 ; (2)存在两个相交平面垂直于同一条直线; (3)有些对数函数的图像不存在； (4) 若x<0,则x2<x不成立.

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小结：1.全称量词、全称命题

的定义及记法.

2.判断全称命题真假性的方法. 3.存在量词、特称命题的定义及记法. 4.判断特称命题真假性的方法.作业:

P-15 习题1-3 第1,2题.

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例、判断下列命题是全称命题，还是特称命 题？ (1)方程2x=5只有一解； (2)凡是质数都是奇数； (3)方程2x2+1=0有实数根； (4)没有一个无理数不是实数； (5)如果两直线不相交，则这两条直线平行； (6)集合A∩B是集合A的子集；11

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练习：判断下列语句是不是全称命题或者存在性命题，如果是，用量词符号表达出来。

(1)中国的所有江河都注入太平洋； (2)0不能作除数； (3)任何一个实数除以1,仍等于这个实数； (4)每一个向量都有方向吗？

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1.3.3 含有一个量词的命题 的否定

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想一想？

写出下列命题的否定 1)所有的矩形都是平行四边形； x M,p(x)

2)每一个素数都是奇数； 3) x R , x 2 2 x 1 0 否定:2)存在一个素数不是奇数；

x M,p(x) x M,p(x)

1)存在一个矩形不是平行四边形；

x M, p(x) x M, p(x) x M, p(x)

3) x R , x 2 x 1 02

这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？14

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从形式看，全称命题的否定是特称命题。含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论 全称命题 p : x M,p(x) 它的否定 p : x M, p(x)

例1写出下列全称命题的否定： 1)p:所有能被3整除的整数都是奇数 …… 此处隐藏：606字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……