线性代数课后习题解答第五章习题详解[1]

第五章 相似矩阵及二次型

1．试用施密特法把下列向量组正交化：

1 1 1

111

0 11 (1) (a1,a2,a3) 124 ； (2) (a1,a2,a3)

1 10 139

110

解 (1) 根据施密特正交化方法:

1 1 1

b1,a3 b2,a3 b1,a2 1

b1 0 ， b3 a3 b1 b2 2 ，令b1 a1 1 ， b2 a2

b,bb,bb,b3 1 1 1 111122

1

1 1

3 2

故正交化后得: (b1,b2,b3) 10 ．

3 1 11

3

(2) 根据施密特正交化方法:

1 1 1

b,ab,a0 33b,a11 ; b a 12b , b a 13b 23b 令b1 a1 2213312

1 b1,b1b1,b1b2,b23 2 5 3 1 1 4

11

1

35

3 0 1

故正交化后得 5 (b1,b2,b3) 23 1

35 14 1 35

2．下列矩阵是不是正交矩阵？并说明理由:

1 (1) 1

2 1 3

12

1 3

1 ; (2) 2 1

1 9 8 9 4 9

891

4 9 4

． 9 7 9

112

94 9

解 (1) 第一个行向量非单位向量,故不是正交阵．

(2) 该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵．

3 设x为n维列向量 xTx 1 令H E 2xxT 证明H是对称的正交阵 证明 因为

HT (E 2xxT)T E 2(xxT)T E 2(xxT)T E 2(xT)TxT E 2xxT

所以H是对称矩阵 因为

HTH HH (E 2xxT)(E 2xxT) E 2xxT 2xxT (2xxT)(2xxT) E 4xxT 4x(xTx)xT E 4xxT 4xxT E 所以H是正交矩阵

4．设A与B都是n阶正交阵，证明AB也是正交阵． 证明 因为A,B是n阶正交阵，故A 1 AT，B 1 BT

(AB)

T

(AB) BTATAB B

1

A

1

AB E

故AB也是正交阵．

5．求下列矩阵的特征值和特征向量:

1(1) 2

a1 123

1

; (2) 213 ; (3) a24 336

a

1 an

a2

an ,(a1 0).

并问它们的特征向量是否两两正交?

1

解 (1) ① A E ( 2)( 3) . 故A的特征值为 1 2, 2 3．

24

② 当 1 2时,解方程(A 2E)x 0,由

1 1

(A 2E)

22

~

11 1

得基础解系P1 001

所以k1P1(k1 0)是对应于 1 2的全部特征值向量． 当 2 3时,解方程(A 3E)x 0,由

2 1

(A 3E)

21

~

1

21 得基础解系P2 2 00

1

所以k2P2(k2 0)是对应于 3 3的全部特征向量．

1 3T

③ [P1,P2] P1P2 ( 1,1) 0

2 2 1

故P1,P2不正交．

21 3

336

( 1)( 9).

(2) ① A E 23

故A的特征值为 1 0, 2 1, 3 9． ② 当 1 0时，解方程Ax 0，由

123 A 213

336

~

123 1

011P 1 得基础解系1 000 1

故k1P1(k1 0)是对应于 1 0的全部特征值向量. 当 2 1时,解方程(A E)x 0，由

2

A E 2

3

23 23 37

223 1

001P 1 得基础解系2 000 0

~

故k2P2(k2 0)是对应于 2 1的全部特征值向量 当 3 9时，解方程(A 9E)x 0，由

3 82

A 9E 2 83

33 3

11 1 1

01 得基础解系P3

2 00 0

1 2 1

2 1

0，

~

故k3P3(k3 0)是对应于 3 9的全部特征值向量．

1 2 1

T 1P2 ( 1, 1,1) 1 0， [P2,P3] PT③ [P1,P2] P12P3 ( 1,1,0)

2 0

1

T

[P1,P3] P1P3 ( 1, 1,1)

a1

2

1 2 1

0， 所以P1,P2,P3两两正交． 2 1 a1ana2an

an

n 1

a1a2

2

(3) A E

a2a1 ana1

a2 ana2

=

nn 1

(a1 a2 an)

222

2

n

(a

21

a2 an)

22

1 a a a

n

21222n

a

i 1

2i

, 2 3 n 0

当 1

a

i 1

2i

时，

a1a2

a1 a3 an

ana2

2

2

2

222

a2 a3 an

a2a1

A E

ana1

a2an

222 a1 a2 an 1

a1an

初等行变换

~

an 0 0 0

0an 00

00 an0

an 1

0

a1

a2

取xn为自由未知量，并令xn an，设x1 a1,x2 a2, xn 1 an 1.

a1 a

故基础解系为P1 2

a n

a1a2a

22

当 2 3 n 0时，

a12 aa

A 0 E 21

ana1

a1an

a2an 2 an

初等行变换

ana2

~

a 0 0

1

a20 0

an0 0

a2 a1

可得基础解系 P2 0

0 an a2

0 0

,P3 a1 , ,Pn 0

0 a1

a1

a

综上所述可知原矩阵的特征向量为 P1,P2, ,Pn 2

a n

a2 a1 0

an

0 a1

6 设A为n阶矩阵 证明AT与A的特征值相同 证明 因为

|AT E| |(A E)T| |A E|T |A E|

所以AT与A的特征多项式相同 从而AT与A的特征值相同

7 设n阶矩阵A、B满足R(A) R(B) n 证明A与B有公共的特征值 有公共的特征向量

证明 设R(A) r R(B) t 则r t n

若a1 a2 an r是齐次方程组Ax 0的基础解系 显然它们是A的对应于特征值 0的线性无关的特征向量

类似地 设b1 b2 bn t是齐次方程组Bx 0的基础解系 则它们是B的对应于特征值 0的线性无关的特征向量

由于 …… 此处隐藏：7499字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……