2.3

变量间的相关关系

2.3.1 2.3.2

变量之间的相关关系 两个变量的线性相关

问题提出1.函数是研究两个变量之间的依存关系的一

种数量形式.对于两个变量，如果当一个变 量的取值一定时，另一个变量的取值被唯一 确定，则这两个变量之间的关系就是一个函 数关系.

函数关系：两个变量之间是一种确定的关系

小明,你数学成绩不太好, 学不好数学 ,物理 物理怎么样 ? 也是学不好的

?????... . 也不太好啊

你认为老师的说法对吗?事实上,我们在考察数学成绩对物理成绩影响的同时,还 必须考虑到其他的因素:爱好,努力程度 数学 成绩 学习 兴趣 物理成绩

花费 时间

其他 因素

如果单纯从数学对物理的影响来考虑,就是考虑这两者之 间的相关关系 我们在生活中,碰到很多相关关系的问题:

知识探究(一):变量之间的相关关系 思考1:考察下列问题中两个变量之间的关系： (1)商品销售收入与广告支出经费； (2)粮食产量与施肥量； (3)人体内的脂肪含量与年龄. 这些问题中两个变量之间的关系是函数关 系吗？ 均不是！

上述两个变量之间的关系是一种非确定 性关系，称之为相关关系，那么相关关 系的含义如何？

一、相关关系的概念 自变量取值一定时，因变量的取值带有一定 随机性的两个变量之间的关系，叫做相关关 系.1、对相关关系的理解相关关系—当自变量取值一定,因变量的取值带有一定的 随机性( 非确定性关系) 函数关系---函数关系指的是自变量和因变量之间的关系 是相互唯一确定的.

2、相关关系与函数关系的异同点相同点：均是指两个变量的关系 不同点：函数关系是一种确定的关系，因果关系；而 相关关系是一种非确定性关系，也可能是伴随关系。

3、联系： (1)在一定条件下，函数关系与相关关系可以 相互转化 (2)相关关系在现实生活中大量存在，从 某种意义上讲，函数关系是一种理想的模 型 ，而相关关系更普遍

巩固练习一、选择题(每题5分，共15分) 1.下列关系中为相关关系的有( )

①学生的学习态度和学习成绩之间的关系；

②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系; ④某个人的年龄与本人的知识水平之间的关系.

(A)①②

(B)①③

(C)②③

(D)②④

【解析】选A.据相关性的定义可知①②为相关关系，③④无相 关关系.

知识探究(二):散点图 【问题】在一次对人体脂肪含量和年龄 关系的研究中，研究人员获得了一组样 本数据：年龄 23脂肪 9.5 年龄 53

27

39

41

45

49

50

17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 54 56 57 58 60 61

脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6

其中

各年龄对应的脂肪数据是这个年龄 人群脂肪含量的样本平均数.

年龄 23脂肪 9.5 年龄 53

2754

3956

4157

4558

4960

5061

17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2

脂肪 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6思考1:对某一个人来说，他的体内脂肪含量不一定随年 龄增长而增加或减少，但是如果把很多个体放在一起， 就可能表现出一定的规律性.观察上表中的数据，大体上 看，随着年龄的增加，人体脂肪含量怎样变化？

思考2:为了确定年龄和人体脂肪含量之间的更明确的关系，我们需要对数据进行分析，通过作图可以对两个变量 之间的关系有一个直观的印象.以x轴表示年龄，y轴表示 脂肪含量，你能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形

脂肪含量

40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄

思考3:上图叫做散点图，你能描述一下散点图 的含义吗？

在平面直角坐标系中，表示具有相关关系的两个 变量的一组数据图形，称为散点图. 散点图：用来判断两个变量是否具有相关关系.

脂肪含量

40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄

思考4:观察散点图的大致趋势，人的年龄与人 体脂肪含量具有什么相关关系？ 在上面的散点图中，这些点散布在从左下角到右 上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我 们将它称为正相关.一般地，如果两个变量成正相 关，那么这两个变量的变化趋势如何？

思考6:如果两个变量成负相关，从整 体上看这两个变量的变化趋势如何？其 散点图有什么特点？正相关的特点：一个变量随另一个变量的变大而 变大，散点图中的点散布在从左下角到右上角的 区域 负相关的特点：一个变量随另一个变量的变大而 变小，散点图中的点散布在从左上角到右下角的 区域

思考7:你能列举一些生活中的变量成正相 关或负相关的实例吗?

如高原含氧量与海拔高度的相关关系，海 平面以上，海拔高度越高，含氧量越少。作出 散点图发现，它们散 布在从左上角到右下 角的区域内，称它们 成负相关.