2019年高三人教A版数学一轮复习练习：第四章平面向量、数系的扩充与复数的引
时间：2025-04-07
2019
朝花夕拾杯中酒
第四章 第3节
[基础训练组]
1．(导学号14577400)(新课标高考全国卷Ⅱ)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，
|a －b |＝6，则a ·b ＝( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．5
解析：A [由已知得|a ＋b |2＝10，|a －b |2＝6，两式相减，得a ·b ＝1.]
2．(导学号14577401)(2018·安徽合肥市三校联考)a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，m ＝a ＋2b ，n ＝2a
－b 且m ⊥n ，则x ＝( )
A ．2
B.72
C.12或－72
D ．－2或72
解析：D [∵a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，
∴m ＝a ＋2b ＝(1＋2x,4)，n ＝2a －b ＝(2－x,3)，
又∵m ⊥n ，∴m ·n ＝(1＋2x )·(2－x )＋3×4＝0，
解得x ＝－2或x ＝72
，故选D.] 3．(导学号14577402)已知D 是△ABC 所在平面内一点，且满足(BC →－CA →)·(BD →－AD →)＝
0，则△ABC 是( )
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形 解析：A [(BC →－CA →)·(BD →－AD →)＝(BC →－CA →)·BA →＝0，所以BC →·BA →＝CA →·BA →，设BC ＝a ，
AC ＝b ，所以a cos B ＝b cos A ，利用余弦定理化简得a 2＝b 2，即a ＝b ，所以△ABC 是等腰三角形．]
4．(导学号14577403)(2018·白山市三模)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝4，点P
在AM 上，且满足AP →＝3PM →，则P A →·(PB →＋PC →)的值为( )
A ．－4
B ．6
C ．－6
D ．4
解析：C [如图所示，∵AM ＝4，又由点P 在AM 上且满足
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AP →＝3PM →，
∴|AP →|＝3，|PM →|＝1.
∵M 是BC 的中点，∴PB →＋PC →＝2PM →＝23
AP → ∴P A →·(PB →＋PC →)＝－23AP →2＝－23
×9＝－6，故选C.] 5．(导学号14577404)(2018·温州市一模)已知正方形ABCD 的面积为2，点P 在边AB
上，则PD →·PC →的最大值为( ) A.62 B.32
C ．2
D. 2 解析：C [以AB 为x 轴，以AD
为y 轴建立平面直角坐标系，
∵正方形ABCD 的面积为2，
∴B (2，0)，C (2，2)，D (0，2)．
设P (x,0)(0≤x ≤2)，则PC →＝(2－x ，2)，
PD →＝(－x ，2)．
∴PC →·PD →＝－x (2－x )＋2＝x 2－2x ＋2＝⎝
⎛⎭⎫x －222＋32，∴当x ＝2，0时，PC →·PD →取得最大值2.故选C.]
6．(导学号14577405)(2018·兰州市一模)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则
BD
→·CD →＝ ____ .
解析：∵菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，
∴∠BCD ＝120°，∠BDC ＝30°，
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BD ＝a 2＋a 2－2a 2cos 120°＝3a .
∴BD →·CD →＝3a ·a ·cos 30°＝32
a 2. 答案：32
a 2 7．(导学号14577406)(2018·天门市5月模拟)△ABC 为等腰直角三角形，OA ＝1，OC
为斜边AB 上的高，P 为线段OC 的中点，则AP →·OP →＝ ________ .
解析：如图，分别以边CB ，CA 所在直线为x ，y 轴，建立如图所示平面直角坐标系；
根据条件知CA ＝CB ＝2，
∴A (0，2)，B (2，0)，O ⎝⎛⎭⎫22，22，P ⎝⎛⎭⎫24
，24， ∴AP →＝⎝⎛⎭⎫24，－324，OP →＝⎝⎛⎭⎫－24
，－24， ∴AP →·OP →＝－18＋38＝14
. 答案：14
8．(导学号14577407)质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于
平衡状态，已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为 ________ .
解析：由已知条件F 1＋F 2＋F 3＝0，
则F 3＝－F 1－F 2，F 23＝F 21＋F 22＋2|F 1||F 2|cos 60°
＝28.因此，|F 3|＝27. 答案：27
9．(导学号14577408)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)．
(1)设c ＝4a ＋b ，求(b ·c )a ；
(2)若a ＋λb 与a 垂直，求λ的值；
(3)求向量a 在b 方向上的投影．
解：(1)∵a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，
∴c ＝4a ＋b ＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．
∴b ·c ＝2×6－2×6＝0，
∴(b ·c )a ＝0·a ＝0.
(2)a ＋λb ＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，
由于a ＋λb 与a 垂直，
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∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝52
. ∴λ的值为52
. (3)设向量a 与b 的夹角为θ，向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ.
∴|a |cos θ＝a ·b |b |＝1×2＋2×(－2)22＋(－2)2
＝－222
＝－22. 10．(导学号14577409)(2018·揭阳市二模)
已知如图，△ABC 中，AD 是BC 边的中线，
∠BAC ＝120°，且AB →·AC →＝－152
.
(1)求△ABC 的面积；
(2)若AB ＝5，求AD 的长．
解：(1)∵AB →·AC →＝－152，∴AB ·AC ·cos ∠BAC ＝－12AB ·AC ＝－152
，即AB ·AC ＝15， ∴S △ABC ＝12AB ·AC sin ∠BAC ＝12×15×32＝1534
.
(2)法一：由AB ＝5得AC ＝3，
延长AD 到E ，使AD ＝DE ，连结BE .
∵BD ＝DC,
∴四边形ABEC 为平行四边形，∴∠ABE ＝60°，
且BE ＝AC ＝3.
设AD ＝x ，则AE ＝2x ，在△ABE 中，由余弦定理得：
(2x )2＝AB 2＋BE 2－2AB ·BE cos ∠ABE ＝25－9－15＝19，
解得x ＝192，即AD 的长为192
. 法二：由AB ＝5得AC ＝3，
在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC ＝25＋9＋15＝49，
得BC ＝7.
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