答案 高等代数单元自测题4

1 高等代数单元自测题(第四章)答案

一、选择题(20分)

1. B

2. A

3. C

4. C

5. B

6. B

二、判断题(20分)

1. ×

2. ×

3. ×

4. √

5. ×

6. ×

7. ×

8. √

三、计算题(30分)

1．222111222333122112133113233223()()()a x a x a x a a x x a a x x a a x x ++++++++

2．1-A =111

221212311424⎡⎤-⎢⎥⎢

⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦ 3． 2111012333514333X ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

. 四、证明题(30分)

1. 证明: 用反证法. 若A 不是退化阵, 则A 为可逆矩阵, 在A A =2两边同时乘1A -得A E =, 与A 不是单位矩阵矛盾.

2. 证明: 由于22()()A B A B A BA AB B +-=+--, 等式右边等于22A B -的充要条件是BA AB =, 所以等式))((22B A B A B A -+=-成立的充要条件是BA AB =.

3. 证明: (1) ()()()'2'2'''22()A AA A A A A A ====-=, 所以2A 是对称矩阵.

(2) '''''''()()()()()AB BA AB BA B A A B B A A B -=-=-=---BA AB =-+ AB BA =-, 所以BA AB -是对称矩阵.

(3) 如果AB 是反对称矩阵, 则'(),AB AB =- 所以有'()AB AB =-

2 ''()B A B A BA =-=--=. 反过来, 如果BA AB =, 那么'''()AB B A == ()B A BA AB -=-=-, 所以AB 是反对称矩阵.

4. 证明一: 由于A 是n s ⨯矩阵，秩n A =)(，A 标准形应为0n E ⎡⎤⎢⎥⎣⎦

. 就是说, 存在可逆矩阵1,P A 使得10n E A P A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦, 等式两边同时左乘1P -得

11100n E A P A A -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

.又对于可逆矩阵1P -, 存在初等矩阵l P P P ,,,21 使112l P PP P -=, 从而有⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=-0111A A P P P l l , 其中1A 为可逆矩阵. 证明二: 对A 进行初等行变换化为阶梯形矩阵10A ⎡⎤⎢⎥⎣⎦

, 其中1A 是这个阶梯形矩阵的非零行,它也是一个阶梯形矩阵. 用初等变换与初等矩阵的关系来说, 就

是有初等矩阵l P P P ,,,21 使⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=-0111A A P P P l l . 由于A 是n s ⨯矩阵，秩n A =)(，因此1A 是n n ⨯矩阵, 同时又是非零行数为n 的阶梯形矩阵, 所以必为

可逆的上三角形矩阵.