2、2012高考数学二轮专题复习 平面向量

主干知识梳理1.向量的概念 (1)零向量模的大小为 0,方向是任意的，它与任意 非零向量都共线，记为 0. (2)长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量，a 的 a 单位向量为 . |a| (3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量). (4)如果直线 l 的斜率为 k,则 a=(1,k)是直线 l 的 一个方向向量. (5)向量的投影：|b|cos〈a,b〉叫做向量 b 在向量 a 方向上的投影.

2.向量的运算 (1)向量的加法、 减法、 数乘向量是向量运算的基础， 应熟练掌握其运算规律. (2)平面向量的数量积的结果是实数，而不是向 量.要注意数量积运算与实数运算在运算律方面的 差异，平面向量的数量积不满足结合律与消去 律.a· 的运算结果不仅与 a,b 的长度有关，而且 b 也与 a,b 的夹角有关，即 a· b=|a||b|· cos〈a,b〉 . 3.两非零向量平行、垂直的充要条件 若 a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则 a∥b a=λb x1y2-x2y1=0; a⊥b a· b=0 x1x2+y1y2=0.

热点分类突破题型一 平面向量的数量积及应用 例 1 已知|a|=4,| b |=3,(2 a-3 b)· a+b)=61. (2 (1)求 a 与 b 的夹角； (2)求| a+b |;(3)若 AB a , AC b , 求△ABC 的面积.

思维启迪 (1)应用向量数量积的变形公式求解，即 a· b cos〈a,b〉= ; |a|| b | (2)应用公式| a+b |= (a+b)2即可求解； 1 (3)应用公式 S=2| a || b |sin〈a,b〉求解，关键是求 sin〈a,b〉的值.

向量的数量积公式 → 向量的夹角 → 向量的模

题型二 有关向量的平行、垂直问题 例 2 已知向量 a=(sin x,cos x),b=( 3cos x,cos x) 且 b≠0,定义函数 f(x)=2a· b-1. (1)求函数 f(x)的单调递增区间； (2)若 a∥b,求 tan x 的值； (3)若 a⊥b,求 x 的最小正值. 思维启迪

(1)根据已知求 f(x)的解析式，再由三角函

数的单调性求 f(x)的单调递增区间； (2)由向量平行的充要条件求 tan x 的值； (3)a⊥b a· b=0,得到关于 x 的三角等式，进而求出 x 的最小值.

探究提高

向量与三角函数结合是高考命题的一大热

点，在解决有关向量的平行、垂直问题时，先利用向 量的坐标运算，再利用平行、垂直的充要条件即可简 化运算过程.

题型三

向量与三角函数的综合应用

例 3 已知向量 a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β), c=(-1,0). (1)求向量 b+c 的长度的最大值； π (2)设 α=4,且 a⊥(b+c),求 cos β 的值. 思维启迪

探究提高

向量与三角函数的综合，实质上是借助向

量的工具性. (1)解这类问题的基本思路方法是将向量转化为代数运 算；(2)常用到向量的数乘、向量的代数运算，以及数 形结合的思想.

规律方法总结 1.利用数量积研究向量的平行和垂直 设 a=(x1,y1),a=(x2,y2)

,则 位置关系 a∥b a⊥b 向量式 坐标式 |a· |=|a|·b | x1y2-x2y1=0 b | a· b=0 x1x2+y1y2=0

2.利用数量积研究夹角问题 a· b 设〈a,b〉=θ,则 cos θ= , |a||b| 数量积的符号 a· b>0 a· b=0 a· <0 b 夹角 θ 的大小或范围 θ 为锐角或零角 θ=90° θ 为钝角或平角

3.利用数量积求向量的长度(或模) 条件 计算公式 a=(x,y) | a |= a2= x2+y2 A(x1,y1),B(x2, | AB | = (x1-x2)2+(y1-y2)2 y2 )

知能提升演练一、选择题 1.已知向量 a=(1,3),b=(3,n),若 2a-b 与 b 共线， 则实数 n 的值是 A.3+2 3 C.6 B.9 D.3-2 3 ( B )

2. (2010·全国)a,b 为平面向量，已知 a=(4,3),2 a +b=(3,18),则 a,b 夹角的余弦值等于 ( C ) 8 8 16 16 A. B.- C. D.- 65 65 65 65

3.已知平面向量 a=(1,2),b=(-2,m),且 a∥b,则 2a+3 b 等于 A.(-2,-4) C.(-4,-8) B.(-3,-6) D.(-5,-10) ( C )

1 1 4.(2010· 安徽)设向量 a=(1,0),b=( , ),则下列结 2 2 论中正确的是 ( C ) 2 A.|a|=| b | B.a· b= 2 C.a-b 与 b 垂直 D.a∥b

π 5.已知向量 a=(sin(α+ ),1),b=(4,4cos α- 3),若 6 4π a⊥b,则 sin(α+ )等于 ( B ) 3 3 1 A.- B.- 4 4 3 1 C. D. 4 4

6. (2010·浙江)已知平面向量 α、β,|α|=1,|β|=2, α⊥(α-2β),则|2α+β|的值是________.

7.如图，O为 ABC的外心，AB=4,AC=2, BAC为钝角，M是BC边的中点，则 AM AO = ——。A

B

M

C

O

第7题图

8.若a,, c均为单位向量，且 a +b =1,则 a -b c的取值范围是——. b

9.已知O是 ABC的外心， AB 6, AC 10,若 AO x AB y AC, 且2 x+5 y 5, 则 cos BAC ——.

x x 2x 10.已知向量 m=( 3sin ,1),n=(cos ,cos ). 4 4 4 2π (1)若 m· n=1,求 cos( -x)的值； 3 (2)记 f(x)=m· n,在△ABC 中，角 A、B、C 的对 边分别是 a、b、c,且满足(2a-c)cos B=bcos C, 求函数 f(A)的取值范围. x x 2x 解 (1)m· n= 3sin cos +cos 4 4 4 3 x 1 x 1 x π 1 = sin + · + =sin( + )+ . cos 2 2 2 2 2 2 6 2 x π 1 又∵m· n=1,∴sin( + )= . 2 6 2 π π 1 2 x cos(x+ )=1-2sin ( + )= , 3 2 6 2 2π π 1 cos( -x)=-cos(x+ )=- . 3 3 2

(2)∵(2a-c)cos B=bcos C, 由正弦定理得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C, ∴2sin Acos B-sin Ccos B=sin Bcos C. ∴2sin Acos B=sin(B+C). ∵A+B+C=π,∴sin(B+C)=sin A,且 sin A≠0. 1 π ∴cos B= ,又∵0<B<π,∴B= . 2 3 2π ∴0<A< . 3 π A π π 1 A π ∴ < + < , <sin( + )<1. 6 2 6 2 2 2 6 x π 1 又∵f(x)=m· n=sin( + )+ , 2 6 2 A π 1 ∴f(A)=sin( + )+ . 2 6 2 3 故函数 f(A)的取值范围是(1, ). 2

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