圆锥曲线习题精选精讲

高中 物理 圆锥曲线

圆锥曲线

1.圆锥曲线的两个定义：

（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a，且此常数2a一定要大于当常数等于

F1F2

，

F1F2

时，轨迹是线段F1F2，当常数小于

F1F2时，无轨迹；双曲线中，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，

且此常数2a一定要小于|F1F2|，定义中的“绝对值”与2a＜|F1F2|不可忽视。若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线，若2a﹥|F1F2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如（1）已知定点F1( 3,0),F2(3,0)，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 A．PF B．PF C．1 PF2 41 PF2 6D．PF1

2

PF1 PF2 10

PF2

2

8表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） 12（答：C）

（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点

x2

Q(22,0)及抛物线y

4

上一动点P（x,y）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2）

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：

x2y2x acos （1）椭圆：焦点在x轴上时2 2 1（a b 0）其中 y bsin （参数方程，

ab

＝1（a

22

b 0）。方程Ax By C表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且

y2x2

为参数），焦点在y轴上时2 2

ab

A，B，C同号，A≠B）。如（1）已知方程

11x2y222

；（2）若x,y R，且3x 2y 6，则x y 1表示椭圆，则k的取值范围为____（答：( 3, ) ( ,2)）

223 k2 k

的最大值是____，x

2

y2的最小值是___

2）

y2x2

=1，焦点在y轴上：2 2

ab

＝1（a 0,b 0）。方程

x2y2

（2）双曲线：焦点在x轴上：2 2

ab

Ax2 By2 C表示双曲线

x2y25

的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。如（1）双曲线的离心率等于，且与椭圆 1有公共焦点，则该双曲线的方

942

x2

程_______（答：；（2）设中心在坐标原点O，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率e 2的双曲线C过点P(4, )， y2 1）

4

则C的方程为_______（答：x

2

y2 6）

（3）抛物线：开口向右时

y2 2px(p 0)，开口向左时y2 2px(p 0)，开口向上时x2 2py(p 0)，开口向下时

x2 2py(p 0)。

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：

高中 物理 圆锥曲线

（1）椭圆：由x

2

,

y

2

分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程

x2y2

1表示焦点在y轴上的椭圆，

m 12 m

则m的取值范围是__（答：( , 1) (1,

（2）双曲线：由x

2

3)） 2

,

y

2

项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；

（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F1，F2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数a,b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，a最大，a

4.圆锥曲线的几何性质：

2

b2 c2，在双曲线中，c最大，c2 a2 b2。

x2y2

（1）椭圆（以2 2 1（a b 0）为例）：①范围： a x a, b y b；②焦点：两个焦点( c,0)；③对称性：

ab

两条对称轴x 0,y

0，一个对称中心（0,0），四个顶点( a,0),(0, b)，其中长轴长为2a，短轴长为2b；④准线：两条准线

a2

x

c

cx2y2

； ⑤离心率：e ，椭圆 0 e 1，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。如（1）若椭圆 1的离心率

a5m

25，则的值是__（答：3或）；（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值me

35

为__（答：2

2）

x2y2

2 1（a 0,b 0）为例）（2）双曲线（以：①范围：x a或x a,y R；②焦点：两个焦点( c,0)；③对称2ab

性：两条对称轴x 0,y

0，一个对称中心（0,0），两个顶点( a,0)，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的

； ⑤离心率：e

2

a

长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为x2 y2 k,k 0；④准线：两条准线x

c

c

，双曲线 e 1，a

等轴双曲线

b

e e越小，开口越小，e越大，开口越大；⑥两条渐近线：y x。如（1）双曲线的渐近线方程是3x 2y 0，

a

则该双曲线的离心率等于______

22

）；（2）双曲线ax by

1a:b

答：4

1

或4

x2y2

）；（3）设双曲线2 2 1（a>0,b>0）中，离心率e∈[2,2],则两条渐近线夹角θ

ab

（3）抛物线（以

的取值范围是________（答：[

,]）；

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p

：①范围：x 0,y R；②焦点：一个焦点(,0)，其中p的几何意义是：焦点到y2 2px(p 0)为例）

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