点估计与区间估计

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第十章 估計

点估计与区间估计

點估計與區間估計推論統計的理論乃在根據樣本的訊息，猜測母體的特性或參數。主要 的推論型式是參數(母數)的估計與假設的檢定，參數的估計又可分 為

點估計(point estimation):根據樣本資料，求得一統計量 的觀測值，作為參數(母數)的估計值。 區間估計(interval estimation):根據樣本資料，求得兩個 數值，構成一個信賴區間(confidence interval,C. I.),概 括出參數(母數)的可能範圍。點估計之優點為算法簡單，意義簡單明瞭；但其缺點為無法判斷估計 結果的準確性，且其估計值會因樣本不同而有所差異。所以才會有區 間估計之推出。 假定，我們估計全體大學生平均每月可用零用金為5000元，那是點估 計，該估計為單一數值，可視為線上的一點；若我們估計全體大學生 平均每月可用零用金介於4000~6000元，那就是區間估計，因為涉及 兩點，可視為線上的一個區段。

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母體平均數µ的估計 母體平均數 的估計實務上，最常碰到對母體均數µ的估計。如：大學生的平均智商、平均 成績、平均身高、每月平均可用零用金、平均手機的使用月費；國民 平均所得、工廠的平均生產數量、百貨公司的平均營業額、每戶家庭 每月的平均支出、……。 估計母體平均數µ的方法可為：樣本中位數、中距( ) 2 與平均數。其中，以樣本平均數為最優，因其具有不偏性與一致性， 且變方最小。最大 最小

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大樣本時若樣本數n>30,則以其為µ的點估計。若樣本數n>30,且母體變異數 σ2已知，則以

x ± zα / 2

σn

為µ的100(1-α)%之信賴區間。 但實務上，母體變異數σ2通常未知，當樣本數n>30,可以樣本標準差 S來取代母體標準差σ。故以

x ± zα / 2

S n

為µ的100(1-α)%之信賴區間。

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而

zα / 2

S nS n2

即我們可容忍的誤差(e)。所以，我們於第四章計算樣本大小時，就是將

e = zα / 2簡化成

Z S n = α /2 e 來計算樣本數。 式中，Zα/2值可用Excel之NORMSINV()函數來求算(詳第三章之說明), 其公式應為： =NORMSINV(1-α/2) 以α=0.05時為例，其Zα/2值為1.96:(詳範例Ch10.xlsx『依α査Z值』工作表)

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未分組資料若資料為未分組之數值資料，可直接以AVERAGE()與STDEV()來求 算樣本均數與標準差。續代入先前之

x ± zα / 2求得µ的點估計與信賴區間。

S n

以範例Ch10.xlsx『飲料花費』工作表內容言，其飲料花費µ的點估計 為83.225元；µ的95%信賴區間為

83.225 ± 1.96

82.21 = 83.225 ± 11.39 200

即71.83~94.62元。我們可以說，有95%的信賴水準，母體(全體大 學生)的一週飲料花費會落在71.83~94.62元： 轉為媒體上所常用之口語，就是：此次

調查之結果，全體大學生的一 週飲料平均花費為83.225元，於95%信賴水準之下，其誤差不會超過 ±11.39元。

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若依不同之顯著水準求算，其信賴區間分別為： α 信賴區間 0.10 75.20~92.54 其內，信賴區間之上下限的公式，於F12與G12分別為： 0.05 73.54~94.20 F12 =$F$2-NORMSINV(1-$E12/2)*$F$3/SQRT($F$4) 0.01 70.30~97.44 G12 =$F$2+NORMSINV(1-$E12/2)*$F$3/SQRT($F$4) 然後，將F12:G12,抄給F13:G14即可。 可發現，顯著水準愈小(信賴水準愈大),信賴區間將愈大。

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馬上練習以範例Ch10.xlsx『運動時間』工作表內容，求α=0.05時，大學生每 週運動時間之均數µ的點估計及其95%信賴區間。

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馬上練習續上題，求α=0.01、α=0.05與α=0.1時，運動時間之均數µ的信賴區間 分別為何？

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信賴區間之範圍CONFIDENCE() 信賴區間之範圍CONFIDENCE(α,σ,n) CONFIDENCE(顯著水準,標準差,樣本數) 本函數可傳回母體平均數的信賴區間之範圍，α為顯著水準，α=0.05時 表求算95%信賴區間之範圍。σ為母體標準差，n為樣本數。 若處理對象為常態分配，母體標準差(σ)已知，其計算公式為：

zα / 2

σ

nzα / 2 S n

實務上，很少會已知母體標準差，就以樣本標準差來替代。其計算公 式為：

故其µ的100(1-α)%之信賴區間為：

x ± CONFIDENCE(α , σ , n)

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如範例Ch10.xlsx『直接以CONFIDENCE()求算飲料花費區間』工作表，其 資料內容同於前文『飲料花費』工作表。以AVERAGE()、STDEV()與 COUNT()求得均數、標準差與樣本數。然後，於F6再以 =CONFIDENCE(F5,F3,F4) 求信賴區間之範圍，可省去以=NORMSINV(1-α/2)計算Zα/2值之步驟。所求得 之95%信賴區間同樣為71.83~94.62:

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馬上練習依範例Ch10.xlsx『成績』工作表內容，求α=0.05時，成績均數µ的點 估計，並以CONFIDENCE()求其95%信賴區間。

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分組資料對問卷上，採用勾填某一區間所獲得之數字。如： 請問您整個家庭月所得狀況： 請問您整個家庭月所得狀況： □1. 5萬元以下 萬元以下 □4. 15至20萬元 至 萬元 □2. 5至10萬元 至 萬元 □5. 20萬元以上 萬元以上 □3. 10至15萬元 至 萬元

得將其轉為組中點(25000,75000,…,225000),再計算其均數、 變異 …… 此处隐藏：1014字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……