北京市海淀区2015届高三下学期期末练习数学文试卷 扫描版含答案

海淀区高三年级第二学期期末练习

数学（文）答案及评分参考 2015.5

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）B （2）D （3）A （4）C （5）D （6）C （7）B （8）C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题，第一空2分，第二空3分） （9）y2 4x （10）1 （11）

1 2

, 2 3

（12） （13） 3，y 27e

. 4

（14）假，由①②③可知只使用一种网络浏览器的人数是212+374=586，这与④矛盾

三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）

πππ113

cos 4 . 4分

663222

（Ⅱ）因为 f(x) 4sinx cos2x

解：（Ⅰ）f( 4sin

4sinx (1 2sin2x) 6

分

2sin2x 4sinx 1

2(sinx 1)2 3. 8

分

因为 1 sinx 1，

所以 当sinx 1，即x 2k

,k Z时，f(x)取得最小值 3. 2

13分

（16）（共13分）

解.(Ⅰ) 20名女生掷实心球得分如下：5，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10．所以中位数为8，众数为9． 4分

(Ⅱ) 由题意可知，掷距离低于7.0米的男生的得分如下：4，4，4，6，6，6.这6名男生分别记为A1,A2,A3,B1,B2,B3.从这6名男生中随机抽取2名男生，所有可能的结果有15种，它们是：(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3)，

(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3). 6

分

用C表示“抽取的2名男生得分均为4分”这一事件，则C中的结果有3个，它们是：

(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3). 8

分

所以，所求得概率P(C) 分

(Ⅲ)略. 13分

评分建议：从平均数、方差、极差、中位数、众数等角度对整个年级学生掷实心球项目的情况进行合理的说明即可；也可以对整个年级男、女生该项目情况进行对比；或根据目前情况对学生今后在该项目的训练提出合理建议. （17）（共14分）

（Ⅰ）解：四棱准P ABCD的正视图如图所示.

3分

（Ⅱ）证明：因为 PD 平面ABCD，AD 平面ABCD，

所以 PD AD.

5

31

. 9155

分

因为 AD DC，PD

CD D，PD 平面PCD，

P

CD 平面PCD，

所以AD 平面

PCD.

7分

因为 AD 平面PAD， 所以 平面PAD 平面

PCD. 8分

（Ⅲ）分别延长CD,BA交于点O，连接PO，在棱PB上取一点E，使得

OD

C

E

A

B

PE1

.下证AE//平面PCD. EB2

10分

因为 AD//BC，BC 3AD，

OAAD1OA1

，即 .

AB2OBBC3

OAPE

所以 . ABEB

所以 AE//OP. 12分 因为OP 平面PCD，AE 平面PCD，

所以

所以 AE//平面PCD. 14分

（18）（共13分）

解：（Ⅰ）因为数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，

所以 an 2 2分

所以 bn 2log2an 2log22 2n. 3分

所以 Sn 2 4 分

n

n 1

2n. 2

+2n

n(2 2n)

n2 n. 62

Snn2 nn(n 1)

（Ⅱ）令cn .

an2n2n

则cn 1 cn 分

Sn 1Sn(n 1)(n 2)n(n 1)(n 1)(2 n)

. 9 n 1nn 1

an 1an222

所以 当n 1时，c1 c2； 当n 2时，c3 c2；

当n 3时，cn 1 cn 0，即c3 c4 c5 所以 数列{cn}中最大项为c2和c3.

所以 存在k 2或3，使得对任意的正整数n，都有分

（19）（共13分） 解：（Ⅰ）f'(x) 分

当a 0时，对 x (0, )，f'(x) 0，所以 f(x)的单调递减区间为(0, )；

4分

当a 0时，令f'(x) 0，得x a.

因为 x (0,a)时，f'(x) 0；x (a, )时，f'(x) 0.

所以 f(x)的单调递增区间为(0,a)，单调递减区间为(a, ). 6分

（Ⅱ）用f(x)max,f(x)min分别表示函数f(x)在[1,e]上的最大值，最小值. 当a 1，且a 0时，由（Ⅰ）知：在[1,e]上，f(x)是减函数. 所以 f(x)max f(1) 1.

因为 对任意的x1 [1,e]，x2 [1,e]， f(x1) f(x2) 2f(1) 2 4，

所以对任意的x1 [1,e]，不存在x2 [1,e]，使得f(x1) f(x2) 4. 8分

当1 a e时，由（Ⅰ）知：在[1,a]上，f(x)是增函数，在[a,e]上，f(x)是减函数.

.

SkSn

. 13akan

aa x 1 ,x 0. 2xx

所以 f(x)max f(a) alna a 2. 因为 对x1 1， x2 [1,e]，

f(1) f(x2) f(1) f(a) 1 alna a 2 a(lna 1) 3 3，

所以 对x1 1 [1,e]，不存在x2 [1,e]，使得f(x1) f(x2) 4. 10分

当a e时，令g(x) 4 f(x)(x [1,e]).

由（Ⅰ）知：在[1,e]上，f(x)是增函数，进而知g(x)是减函数. 所以 f(x)min f(1) 1,f(x)max f(e) a e 2，

g(x)max g(1) 4 f(1)，g(x)min g(e) 4 f(e).

因为 对任意的x1 [1,e]，总存在x2 [1,e]，使得f(x1) f(x2) 4，即f(x1) g(x2)，

f(1) g(e), f(1) f(e) 4,所以 即

f(e) g(1),f(e) f(1) 4.

所以 f(1) f(e) a e 3 4，解得a e 1. 13分